Sottogruppi generati di $S_4$
Esercizio:
Si determini il sottogruppo generato dal sottoinsieme di $S_4$
$X= { (1,2,3), (1,4)}$
Inoltre ho dette domande che mi pongo
1) Che periodo hanno le permutazioni (1,2,3) e (1,4)
2) Quali sono strutture cicliche di $S_14$ che hanno periodo 20?
3) $A_n$ con n pari costituisce un gruppo mentre se dispari no?
Grazie e spero a presto.
Si determini il sottogruppo generato dal sottoinsieme di $S_4$
$X= { (1,2,3), (1,4)}$
Inoltre ho dette domande che mi pongo
1) Che periodo hanno le permutazioni (1,2,3) e (1,4)
2) Quali sono strutture cicliche di $S_14$ che hanno periodo 20?
3) $A_n$ con n pari costituisce un gruppo mentre se dispari no?
Grazie e spero a presto.
Risposte
per trovare il sottogruppo generato da $X$ basta che metti tutti i possibili prodotti tra le potenze di $(1,2,3)$ e $(1,4)$ e trovi tale sottogruppo...
per la 1) è facile $(123)$ ha ordine $3$ fai le sue potenze e te ne convinci $(14)$ ha ordine $2$ in quanto è una trasposizione.
per la 3) $A_n$ è sempre un sottogruppo di $S_n$ $AAn$.
ciao
per la 1) è facile $(123)$ ha ordine $3$ fai le sue potenze e te ne convinci $(14)$ ha ordine $2$ in quanto è una trasposizione.
per la 3) $A_n$ è sempre un sottogruppo di $S_n$ $AAn$.
ciao
Si ma lo faccio a mano, ho c'è un metodo più veloce.
Inoltre mi chiedo come faccio a trovare tutti i sottogruppi di $S_4$ nn mi dite fai i prodotti$.
$|S_4|=4! =24$ e credo ci metto una giornata a verificare per quanque $a$ e $b$ di un sottoinsieme di $S_4$ $ab^-1$ sono ancora nel possibile sottogruppo.
Grazie a presto.
Inoltre mi chiedo come faccio a trovare tutti i sottogruppi di $S_4$ nn mi dite fai i prodotti$.
$|S_4|=4! =24$ e credo ci metto una giornata a verificare per quanque $a$ e $b$ di un sottoinsieme di $S_4$ $ab^-1$ sono ancora nel possibile sottogruppo.
Grazie a presto.
nel tuo caso esplicito è facile farlo a mano...
mentre per calcolare i sottogruppi di $S_4$ ti può aiutare il teorema di Sylow e allora ad esempio visto che $24=2^3*3$ si ha che hai tre 2-Sylow che sono tutti isomorfi al gruppo diedrale $D_4$ poi hai sicuramente $A_4$, $V$ isomorfo al gruppo di klein che risulta essere 'intersezione dei tre sottogruppi diedrali, poi hai anche un sottogruppo isomorfo al ciclico di ordine $4$ e così via...
mentre per calcolare i sottogruppi di $S_4$ ti può aiutare il teorema di Sylow e allora ad esempio visto che $24=2^3*3$ si ha che hai tre 2-Sylow che sono tutti isomorfi al gruppo diedrale $D_4$ poi hai sicuramente $A_4$, $V$ isomorfo al gruppo di klein che risulta essere 'intersezione dei tre sottogruppi diedrali, poi hai anche un sottogruppo isomorfo al ciclico di ordine $4$ e così via...
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