Sottogruppi e sottogruppi normali
Salve a tutti, sto seguendo il corso di Algebra I e il programma si è concluso trattando dei gruppi in maniera generale, gruppi ciclici (in generale), gruppi di permutazione su n elementi (Sn) e gruppi diedrali, classi laterali e sottogruppi normali, gruppi quoziente e per finire il teorema fondamentale di omomorfismo e teorema di Lagrange. In realtà ho delle lacune soprattutto per quanto riguarda i gruppi di permutazione e gruppi diedrali. Per quanto riguarda la ''teoria'' (se proprio vogliamo fare una distinzione tra teoria e pratica) mi sento in realtà a posto, non ho lacune e/o dubbi evidenti (almeno credo 
), spesso però mi si presentano esercizi in cui non so bene da dove devo partire e il modo in cui riflettere.
Ad esempio: \(\displaystyle \text {Trovare quattro sottogruppi diversi di} \mathcal{S}_4 \text {isomorfi a} \mathcal{S}_3 \text {e nove isomorfi a} \mathcal{S}_2 \)
Sinceramente per un esercizio del genere non saprei bene da dove partire, intendo, il gruppo simmetrico su 4 elementi ha $ 4! = 24 $ elementi, trovare tutti i sottogruppi ''a mano'' e verificare uno ad uno gli isomorfismi mi sembra un lavoro troppo meccanico e anche poco elegante alla fine. Per questo tipo di esercizi (per tipo di esercizi intendo esercizi in cui il problema è ''trova i sottogruppi ... '' '' verifica che i sottogruppi ... siano isomorfi a ... '' ) che tipo di ragionamento sarebbe più adatto utilizzare? (scusate la povertà di informazioni, ma sinceramente mi trovo brancolante nel buio e non so proprio come partire. Vi ringazio in anticipo )
), spesso però mi si presentano esercizi in cui non so bene da dove devo partire e il modo in cui riflettere. Ad esempio: \(\displaystyle \text {Trovare quattro sottogruppi diversi di} \mathcal{S}_4 \text {isomorfi a} \mathcal{S}_3 \text {e nove isomorfi a} \mathcal{S}_2 \)
Sinceramente per un esercizio del genere non saprei bene da dove partire, intendo, il gruppo simmetrico su 4 elementi ha $ 4! = 24 $ elementi, trovare tutti i sottogruppi ''a mano'' e verificare uno ad uno gli isomorfismi mi sembra un lavoro troppo meccanico e anche poco elegante alla fine. Per questo tipo di esercizi (per tipo di esercizi intendo esercizi in cui il problema è ''trova i sottogruppi ... '' '' verifica che i sottogruppi ... siano isomorfi a ... '' ) che tipo di ragionamento sarebbe più adatto utilizzare? (scusate la povertà di informazioni, ma sinceramente mi trovo brancolante nel buio e non so proprio come partire. Vi ringazio in anticipo )
Risposte
Pensiamola così: $S_4$ è il gruppo di permutazioni dell'insieme ${ 1,2,3,4 }$. Ora, $S_3$ è il gruppo di permutazioni su ${1,2,3 }$. Quindi ogni permutazione in $S_3$ è una permutazione di $S_4$ che lascia fisso il $4$. Questo ti fornisce una copia di $S_3$ all'interno di $S_4$. Avresti in mente ora come ottenere le altre tre copie?
In generale, dato un gruppo, trovare tutti i suoi sottogruppi è un lavoraccio (non so neanche se per tutti gli $S_n$ si sa davvero come sono fatti tutti i sottogruppi). Non c'è una tecnica standard per fare questo tipo di esercizi. L'idea è capire al meglio come sono fatti questi gruppi (per i gruppi ciclici è banale, per i diedrali è abbastanza facile, per i gruppi di permutazione è difficile) e cercare di volta in volta il ragionamento migliore per ottenere quello che si vuole ottenere.
In generale, dato un gruppo, trovare tutti i suoi sottogruppi è un lavoraccio (non so neanche se per tutti gli $S_n$ si sa davvero come sono fatti tutti i sottogruppi). Non c'è una tecnica standard per fare questo tipo di esercizi. L'idea è capire al meglio come sono fatti questi gruppi (per i gruppi ciclici è banale, per i diedrali è abbastanza facile, per i gruppi di permutazione è difficile) e cercare di volta in volta il ragionamento migliore per ottenere quello che si vuole ottenere.
Intanto grazie mille per il suggerimento, in effetti determinare tutti i sottogruppi di un gruppo di permutazioni è evidentemente un lavoraccio.
Per ricavare i sottogruppi di $ \S_4 $ isomorfi ad $ S_2 $ è stato semplice, mi sono calcolato i cicli di ordine due in $ \S_4 $ che sono $ 9 $ , sei di essi corrispondo alla classe coniugata $ (i,j) $ e gli altri tre alla classe coniugata $ (i,j)(h,k) $ . Poichè questi nove elementi hanno tutti ordine due, posso formare 9 sottogruppi tutti isomorfi a $ S_2 $.
Per quanto riguarda i quattro sottogruppi isomorfi ad $ S_3 $ ho raccolto il tuo suggerimento e ho proceduto individuando le copie di $ S_3 $ in $ S_4 $ , Per formare gruppi di ordine 6 ,partendo da cicli di lunghezza tre (perchè di quello si tratta) di $ S_4 $ e facendo tutte le varie permutazioni dei suoi elementi, ne ho trovati proprio quattro corrispondenti a $ S({1,2,3}) $ , $ S({1,2,4}) $ , $ S({1,3,4}) $ , $ S({2,3,4}) $ , questi derivano infatti dai cicli di lunghezza tre, che sono otto, gli altri quattro non si devono calcolare in quanto il gruppo di permutazioni su quegli elementi sono uguali ai quattro sopra elencati poichè (tra le altre ragioni) sono gli inversi e danno quindi lo stesso risultato.
Fortunatamente la notte ha portato consiglio (
) e comincio a muovermi bene anche per trovare non so, sottogruppi normali etc. etc. .
Grazie ancora
Per ricavare i sottogruppi di $ \S_4 $ isomorfi ad $ S_2 $ è stato semplice, mi sono calcolato i cicli di ordine due in $ \S_4 $ che sono $ 9 $ , sei di essi corrispondo alla classe coniugata $ (i,j) $ e gli altri tre alla classe coniugata $ (i,j)(h,k) $ . Poichè questi nove elementi hanno tutti ordine due, posso formare 9 sottogruppi tutti isomorfi a $ S_2 $.
Per quanto riguarda i quattro sottogruppi isomorfi ad $ S_3 $ ho raccolto il tuo suggerimento e ho proceduto individuando le copie di $ S_3 $ in $ S_4 $ , Per formare gruppi di ordine 6 ,partendo da cicli di lunghezza tre (perchè di quello si tratta) di $ S_4 $ e facendo tutte le varie permutazioni dei suoi elementi, ne ho trovati proprio quattro corrispondenti a $ S({1,2,3}) $ , $ S({1,2,4}) $ , $ S({1,3,4}) $ , $ S({2,3,4}) $ , questi derivano infatti dai cicli di lunghezza tre, che sono otto, gli altri quattro non si devono calcolare in quanto il gruppo di permutazioni su quegli elementi sono uguali ai quattro sopra elencati poichè (tra le altre ragioni) sono gli inversi e danno quindi lo stesso risultato.
Fortunatamente la notte ha portato consiglio (
) e comincio a muovermi bene anche per trovare non so, sottogruppi normali etc. etc. . Grazie ancora
Esatto...ricorda solo che ciclo non è sinonimo di permutazione. Un ciclo è una cosa ben precisa, cioè una permutazione della forma $(a_1,...,a_k)$ per distinti $a_i$. In particolare, il doppio scambio $(i,j)(h,k)$ non è un ciclo.
Hmm spero di aver capito, correggimi se sbaglio,tanto per fare chiarezza:
Per ciclo si intende l'insieme ordinato degli elementi dell' orbita (di un elemento), una permutazione si scrive come prodotto di cicli. Una struttura ciclica a questo punto cos'è? Io sto studiando sul Piacentini Cattaneo (per ora, ma visto che è un libro che non mi piace per niente, ma la mia prof ci è tanto affezionata, dopo l'esame approfondirò su un altro testo, mi piace molto l'Artin) e una affermazione che da (implicita ad una proposizione) è che le classi coniugate sono tante quante le diverse strutture cicliche, ora le strutture cicliche le scrive appunto come $ (j,k) $ , $ (j,k)(h,i) $ , $ (h,i,j) $ etc... .
Per cui, da quello che ho capito, un elemento di una classe coniugata è una permutazione, scritta (utilizzando le strutture cicliche) come prodotto di cicli, dico bene? Per cui non so, un elemento della struttura ciclica di tipo $ (j,k) $ in $ S_3 $ è una permutazione di questo tipo: $ ( ( h , j , k ),( h , k , j ) ) $ Dico bene o sbaglio? Voglio dire a questo punto per strutture cicliche di questo tipo la permutazione si può identificare direttamente con il ciclo, mentre per strutture cicliche del tipo $ (j,k)(h,i) $ la permutazione si identifica come coppia di cicli disgiunti. Lo so che la faccio troppo lunga, ma di solito sto attento alla nomenclatura che si usa, credo sia fondamentale xD
Per ciclo si intende l'insieme ordinato degli elementi dell' orbita (di un elemento), una permutazione si scrive come prodotto di cicli. Una struttura ciclica a questo punto cos'è? Io sto studiando sul Piacentini Cattaneo (per ora, ma visto che è un libro che non mi piace per niente, ma la mia prof ci è tanto affezionata, dopo l'esame approfondirò su un altro testo, mi piace molto l'Artin) e una affermazione che da (implicita ad una proposizione) è che le classi coniugate sono tante quante le diverse strutture cicliche, ora le strutture cicliche le scrive appunto come $ (j,k) $ , $ (j,k)(h,i) $ , $ (h,i,j) $ etc... .
Per cui, da quello che ho capito, un elemento di una classe coniugata è una permutazione, scritta (utilizzando le strutture cicliche) come prodotto di cicli, dico bene? Per cui non so, un elemento della struttura ciclica di tipo $ (j,k) $ in $ S_3 $ è una permutazione di questo tipo: $ ( ( h , j , k ),( h , k , j ) ) $ Dico bene o sbaglio? Voglio dire a questo punto per strutture cicliche di questo tipo la permutazione si può identificare direttamente con il ciclo, mentre per strutture cicliche del tipo $ (j,k)(h,i) $ la permutazione si identifica come coppia di cicli disgiunti. Lo so che la faccio troppo lunga, ma di solito sto attento alla nomenclatura che si usa, credo sia fondamentale xD
Non vi è alcun vantaggio a studiare ora sul Piacentini Cattaneo e poi passare all’Artin. Sull’Artin c'è tutto quello che devi sapere per l'esame.
Detto questo il tuo ragionamento mi confonde. Semplicemente i cicli sono permutazioni tali che producono un’unica orbita di lunghezza maggiore di \(1\) (tutti gli elementi che non vengono fissati sono nella stessa orbita). Il resto è del tutto paragonabile al caso della scomposizione dei numeri naturali in primi, dove in questo caso i primi sono i cicli disgiunti.
Detto questo il tuo ragionamento mi confonde. Semplicemente i cicli sono permutazioni tali che producono un’unica orbita di lunghezza maggiore di \(1\) (tutti gli elementi che non vengono fissati sono nella stessa orbita). Il resto è del tutto paragonabile al caso della scomposizione dei numeri naturali in primi, dove in questo caso i primi sono i cicli disgiunti.
Si hai ragione vict, l'Artin è anni luce avanti rispetto al Piacentini Cattaneo, secondo me..Avrei studiato molto volentieri dall' inizio del corso sull' Artin, come anche qualche altro mio collega, ma ahimè la professoressa di algebra I (a quanto ho capito ha aiutato la Cattaneo a scrivere il libro) è affezionatissima a quel libro e spesso spiega frettolosamente e assolutamente seguendo maniacalmente il libro. Per questo motivo adesso mi sto dedicando a studiare sul Cattaneo (in vista dell' esame, lo so è brutto da dire anche perchè l'algebra è una delle branche che mi affascina e attira di più della matematica) e poi dopo l'esame, o eventualmente quest'estate, mi studierò approfondimenti e quello che mi manca sull' Artin.
Comunque si ecco la cosa dei cicli l'avevo capita, la facevo più difficile di quanto fosse in realtà
Grazie mille
Comunque si ecco la cosa dei cicli l'avevo capita, la facevo più difficile di quanto fosse in realtà
Grazie mille
Ciao sottogruppo, stavo osservando come il sottorguppo generato da un elemento di una certa struttura ciclica la preservi.
C'e' un esercizio interessante sul Piacentini Cattaneo che richiede di determinare tutte le classi laterali destre e sinistre del gruppo S4 . I vostri post sono stati illuminanti, ma perché parlare male del Piacentini Cattaneo?
C'e' un esercizio interessante sul Piacentini Cattaneo che richiede di determinare tutte le classi laterali destre e sinistre del gruppo S4 . I vostri post sono stati illuminanti, ma perché parlare male del Piacentini Cattaneo?
Ho controllato meglio e l'esercizio chiede di determinare tutti i sottogruppi normali di S4. Per le classi laterali occorrerebbe determinare tutti i sottogruppi che si potrebbe fare usando il concetto di generatore di un gruppo.
In S4 Nel sottoruppo generato da un ciclo di quattro elementi la struttura cambia e da (-,-,-,-) diventa (-,-)(-,-). In un certo non e' violata la conservazione perché 2x2=4.
@vict L'analogia tra scomposizione in numeri primi ed in cicli e' davvero forte, per ora (dovrei dare Algebra I a settmbre) ho capito solo che tale parallelismo esiste, stando moolto attenti : i cicli non necessariamente commutano ma solo se sono disgiunti ne siamo certi.
I sottogruppi normali hanno cardinalita’ legata alle strutture cicliche del gruppo di cui fanno parte. Le strutture cicliche sono infatti classi di equivalenza rispetto ad una relazione detta di coniugio che e’ simile a quella che caratterizza i sottogruppi normali rispetto agli altri. Quindi i sottogruppi normali essendo sottogruppi avranno la cardinalita’ che divide quella del gruppo ed inoltre tale quantita’ dovra’ essere la somma di quella classi di equivalenza date dalle strutture cicliche. Queste seguono la formula | (n!/(n-r)!)/r| ,se sono semplici . Bastera’ allora scrivere le strutture cicliche con accanto la loro cardinalita’ per indentificare tutti e soli i possibili sottogruppi ciclici. In $ S_4 $ ci sono strutture cicliche di cardinalita’ : 1,3,6=4!/2!*1/2,8=4!*1/3,6=4!*(1/4) ( corrispondenti alle partizioni di 4: 4=4, 4=1+1+1+1, 4=3+1, 4=2+2, 4=2+1+1). I divisori di 24 (4!) che possono essere costituiti con queste cardinalita’ sono 4=3+1 ,12=8+3+1 come si vede la seconda contiene la prima che non mi pare sia un sottogruppo mentre il secondo e’ il sottogruppo alterno che potrebbe essere normale come in $ S_3 $ lo e' quello alterno.
Non ho capito i messaggi prima di quest'ultimo.
Comunque, in $S_n$ il sottogruppo alterno $A_n$ e' l'unico sottogruppo normale, e' un sottogruppo e ha indice $2$. Inoltre per $n \ge 5$ il gruppo alterno $A_n$ e' semplice, ovvero non contiene altri sottogruppi normali.
Comunque, in $S_n$ il sottogruppo alterno $A_n$ e' l'unico sottogruppo normale, e' un sottogruppo e ha indice $2$. Inoltre per $n \ge 5$ il gruppo alterno $A_n$ e' semplice, ovvero non contiene altri sottogruppi normali.
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