Sottogruppi e omomorfismi

[Kekec]

Salve, volevo qualche delucidazione su questo esercizio:

Dato $Z_6 x Z_6$ e sia $S$ il suo sottogruppo generato da $X = { ( 2 , 0) , (2 , 2), (0 , 4)}$

a)Stabilire gli elementi di S.

$ S = { (0,0), (2,0) , (4, 0) , (2,2), (4,4) , (0,2), (0,4) }$

b) Si stabilisca se $S$ è isomorfo a qualche $Z_m$.

$S$ ha ordine $7$, è isomorfo $Z_7$ ?

c)Stabilire se esiste un epimorfismo da $Z_36$ a $(Z_6 x Z_6) / S$

Io so che $Z_36$ è ciclico, quindi ogni suo sottogruppo è normale.
Come dovrei agire qui?

[j18eos]

Per il teorema di Lagrange l'ordine del sottogruppo generato da [tex]\langle X\rangle[/tex] deve dividere l'ordine del gruppo [tex]\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6[/tex] il quale è [tex]36[/tex] per cui hai sbagliato il tuo calcolo a priori da quanto hai riportato!

[Kekec]

Effettivamente anche a me sembrava strano che avesse ordine $7$, ma

$<(2,0)>$ = {$(2,0), (4,0), (0,0)$]
$<(2,2)> = {$(4,4), (0,0), (2,2)}$
$<(0,4)> = ${ (0,4) , (0,2), (0,0}$

dove sbaglio?

[deserto1]

"Kekec":Effettivamente anche a me sembrava strano che avesse ordine $7$, ma

$<(2,0)>$ = {$(2,0), (4,0), (0,0)$]
$<(2,2)> = {$(4,4), (0,0), (2,2)}$
$<(0,4)> = ${ (0,4) , (0,2), (0,0}$

dove sbaglio?

Sbagli nel non considerare anche le composizioni trai vari elementi di $X$: ad esempio $(2,0) + (0,4)$

[Kekec]

"deserto":[quote="Kekec"]Effettivamente anche a me sembrava strano che avesse ordine $7$, ma

$<(2,0)>$ = {$(2,0), (4,0), (0,0)$]
$<(2,2)> = {$(4,4), (0,0), (2,2)}$
$<(0,4)> = ${ (0,4) , (0,2), (0,0}$

dove sbaglio?

Sbagli nel non considerare anche le composizioni trai vari elementi di $X$: ad esempio $(2,0) + (0,4)$[/quote]

Ah, dunque il sottogruppo ha ordine 9 ed è isomorfo a $Z_9$.

Come determino l'epimorfismo? Grazie

[j18eos]

Supposto che ti venga [tex]\mathbb{Z}_9[/tex] e non [tex]\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3[/tex] devi capire chi è [tex]\frac{\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6}{\mathbb{Z}_9}[/tex]! Dopodiché puoi capire se esistesse o meno tale ipotetico epimorfismo.

[Kekec]

"j18eos":Supposto che ti venga [tex]\mathbb{Z}_9[/tex] e non [tex]\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3[/tex] devi capire chi è [tex]\frac{\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6}{\mathbb{Z}_9}[/tex]! Dopodiché puoi capire se esistesse o meno tale ipotetico epimorfismo.

Hhm, l'unica cosa che mi viene in mente riguardo [tex]\frac{\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6}{\mathbb{Z}_9}[/tex] è che è isomorfo a $Z_4$; è gusta questa strada? Comunque non saprei proprio come capire se esistesse o meno tale ipotetico epimorfismo.

[j18eos]

Può essere anche il gruppo di Klein; se lo fosse non esisterebbe tale epimorfismo poiché dovrebbe esistere un quoziente abeliano non ciclico di [tex]\mathbb{Z}_{36}[/tex], per il I teorema d'isomorfismo tra gruppi.

Se fosse [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] dovresti provare che esiste un omomorfismo tra [tex]\mathbb{Z}_{36}[/tex] e [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] il cui kernel sia [tex]\mathbb{Z}_9[/tex]; lo giustifica il teorema di Lagrange ed il I teorema d'isomorfismo tra gruppi.

[Kekec]

Ho verificato e credo che $S$ sia isomorfo a $Z_3 x Z_3$ piuttosto che a $Z_9$, non mi resta che capire cosa sia $(Z_6 x Z_6) / (Z_3 x Z_3)$ ed a cosa è isomorfo.

E' isomorfo a $Z_2 x Z_2$? Se si allora tale epimorfismo non esisterebbe poichè $Z_2 x Z_2$ non è ciclico..

[j18eos]

Ciò che affermi equivale a dire che [tex]S[/tex] abbia almeno 2 sottogruppi di ordine [tex]3[/tex]; per capire chi sia [tex]^{\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6}/_{\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3}[/tex] prova a calcolare il periodo di alcuni suo elementi!

[Kekec]

"j18eos":Ciò che affermi equivale a dire che [tex]S[/tex] ha 2 sottogruppi di ordine [tex]3[/tex]; per capire chi sia [tex]^{\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6}/_{\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3}[/tex] prova a calcolare il periodo di alcuni suo elementi!

Comunque $S$ ha più 2 sottogruppi di ordine 3...
Ecco questo mi blocca: gli elementi del gruppo quoziente sarebbero i laterali sinistri di $Z_3 x Z_3$, solo che io non ho ben chiaro cosa siano i laterali sinistri di un gruppo. Quali sono i laterali sinistri di $Z_3 x Z_3$?

[j18eos]

Essendo a meno d'isomorfismi [tex]S=\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3[/tex] (vedi che mi sono corretto) devi calcolare i laterali di [tex]^{\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6}/_{S}[/tex] che come ti ho detto sono 4; per calcolarli devi solo applicare la definizione che troverai sul tuo libro o sui tuoi appunti, la quale è:

[tex]\forall g\in\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6,\,[g]_{S}=\{gh=hg\in\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6\mid h\in S\}[/tex]

per la normalità di [tex]S[/tex] in [tex]\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6[/tex]; ovviamente elementi di uno stesso laterale determinano il laterale stesso, per cui...

[Kekec]

"j18eos":Essendo a meno d'isomorfismi [tex]S=\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3[/tex] (vedi che mi sono corretto) devi calcolare i laterali di [tex]^{\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6}/_{S}[/tex] che come ti ho detto sono 4; per calcolarli devi solo applicare la definizione che troverai sul tuo libro o sui tuoi appunti, la quale è:

[tex]\forall g\in\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6,\,[g]_{S}=\{gh=hg\in\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6\mid h\in S\}[/tex]

per la normalità di [tex]S[/tex] in [tex]\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6[/tex]; ovviamente elementi di uno stesso laterale determinano il laterale stesso, per cui...

Non riesco a calcolarli, me ne scriveresti uno esplicito? grazie

[Angelo210]

ok, scrivo in modo esplicito:

$ZZ_6xxZZ_6//S={(0,0)+S;$ $(0,1)+S;$ $(1,0)+S;$ $(1,1)+S}$

dove gli elementi dentro parentesi graffe sono i laterali di $S$ in $ZZ_6xxZZ_6$,

$(0,0)+S=S={(0,0);$ $(0,2);$ $(0,4);$ $(2,0);$ $(2,2);$ $(2,4);$ $(4,0);$ $(4,2);$ $(4,4)}$
$(0,1)+S={(0,1);$ $(0,3);$ $(0,5);$ $(2,1);$ $(2,3);$ $(2,5);$ $(4,1);$ $(4,3);$ $(4,5)}$
$(1,0)+S={(1,0);$ $(1,2);$ $(1,4);$ $(3,0);$ $(3,2);$ $(3,4);$ $(5,0);$ $(5,2);$ $(5,4)}$
$(1,1)+S={(1,1);$ $(1,3);$ $(1,5);$ $(3,1);$ $(3,3);$ $(3,5);$ $(5,1);$ $(5,3);$ $(5,5)}$