Sottogruppi discreti di $\mathbb{R^n}$

[Shocker1]

Sia $G$ un sottogruppo discreto di $(\mathbb{R^n},+)$(dotato della topologia euclidea), dimostrare che:
1)$G$ è finitamente generato
2)i generatori sono linearmente indipendenti su $\mathbb{R^n}$
3)$G$ è un gruppo libero di rango $k$(cioè è isomorfo a $\mathbb{R^n}$).

Ho provato senza successo a dimostrare il punto $1)$: per definizione $G$ discreto vuol dire che $\forall r \in \mathbb{R^+}$ vale che $|G \nn B(0, r)| < +\infty$ sia $x \in \mathbb{R^n}-G$ e $r > 0$ tale che $x \in B(0, r)$ allora $G \nn B(0, r)$ è un insieme finito di punti... posso farci un minimo: detto $k = min{d(x, g_i) | g_i \in B(0, r) \nn G}$ allora preso $\epsilon < k$ positivo ho che $B(x,\epsilon) \nn G = \emptyset$ e quindi $\mathbb{R^n}-G$ è aperto, dunque $G$ è chiuso.
Ok, sperando di non aver detto cose false una volta provato questo l'idea era di supporre $G$ non finitamente generato e trovare una contraddizione, il problema è che non riesco a trovarla! Avete qualche indizio da darmi?

Ciao

[dan952]

1) Ogni punto $x \in \mathbb{R}^n-G$ è interno infatti sia $\rho>0$ tale che $x \in B(0,\rho)$, poiché $G nn B(0,\rho)$ è finito esiste $0<\varepsilon<\rho$ tale che $G nn B(x,\varepsilon)=O/$ dunque $G$ è chiuso. Loading...

[Shocker1]

"dan95":1) Ogni punto $x \in \mathbb{R}^n-G$ è interno infatti sia $\rho>0$ tale che $x \in B(0,\rho)$, poiché $G nn B(0,\rho)$ è finito esiste $0<\varepsilon<\rho$ tale che $G nn B(x,\varepsilon)=O/$ dunque $G$ è chiuso. Ora in $\mathbb{R}^n$ con la tipologia euclidea ogni chiuso è limitato e dunque esiste $R>0$ tale che $G \sub B(0,R)$ ovvero $G$ è finito.

Sicuro? Per esempio per $n = 1$ hai che $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ è chiuso ma non è limitato, oppure prendi $\mathbb{R^n} - B(0, 10)$: questo è un chiuso ma non è limitato se non erro.
Se riuscissi a dimostrare che $G$ è anche compatto allora sicuramente è limitato, ma non riesco a capire come fare. Probabilmente non è compatto.

Ciao!

[dan952]

Sì scusa ho poi ricontrollato

[Shocker1]

It's ok!

Secondo te ragionare per assurdo potrebbe portare a qualcosa?

[dan952]

Penso che si dimostri con una costruzione dell'insieme di generatori

[Stickelberger]

Sia $W$ il sottospazio di $RR^n$ generato da $G$. Allora $G$ contiene una base
$e_1,\ldots,e_m$ di $W$. Sia $B \subset RR^n$ l’insieme compatto $\{\sum_{i=1}^m\lambda_i e_i: 0\le \lambda_i\le 1\}$.
Siccome $G$ e’ discreto e $B$ e’ limitato, l'intersezione $G\cap B$ e' finita.

Affermiamo che i vettori in $G\cap B$ generano $G$.

Sia $x\in G$. Allora $x\in W$ e quindi $x=\sum_{i=1}^m\lambda_ie_i$ per certi $\lambda_i\in RR$.
Sia $y=\sum_{i=1}^mc_ie_i$ dove $c_i\in ZZ$ e’ la parte intera di $\lambda_i$.
Il vettore $y$ e' in $G$. Ne segue che il vettore $y-x$ sta in $G\cap B$ e ci siamo.