Sottogruppi di un gruppo; e le classi laterali.
1) Determinare tutti i sottogruppi di ($ZZ$ ,+)
2) Determinare tutti i sottogruppi di ($ZZ_6$ ,+) e le corrispondenti partizioni in classi laterali.
IL punto 1) è troppo teorico e non so da dove iniziare..invece per il punto 2) almeno per i sottogruppi non ci sono problemi e si fà così:
$ZZ_6$ ha 4 sottogruppi che sono:
$H_1$ = 0
$H_2$ = <3> = 0, 3
$H_3$ = <2> = 0, 2, 4
$H_6$ = <1> = 0, 1, 2, 3, 4, 5
e questo è facile non so però come comportarmi con ($ZZ$ ,+) nè tantomeno saprei trovare le corrispondenti partizioni in classi laterali del punto 2). Confido nel vostro aiuto. Grazie a tutti!!
2) Determinare tutti i sottogruppi di ($ZZ_6$ ,+) e le corrispondenti partizioni in classi laterali.
IL punto 1) è troppo teorico e non so da dove iniziare..invece per il punto 2) almeno per i sottogruppi non ci sono problemi e si fà così:
$ZZ_6$ ha 4 sottogruppi che sono:
$H_1$ = 0
$H_2$ = <3> = 0, 3
$H_3$ = <2> = 0, 2, 4
$H_6$ = <1> = 0, 1, 2, 3, 4, 5
e questo è facile non so però come comportarmi con ($ZZ$ ,+) nè tantomeno saprei trovare le corrispondenti partizioni in classi laterali del punto 2). Confido nel vostro aiuto. Grazie a tutti!!
Risposte
Ho spostato questo messaggio da geometria.
ah si, scusa se avevo sbagliato sezione.. spero che qui troverò la soluzione al mio problema..confido in voi!!
mi servirebbe una mano soprattutto nel trovare le partizioni in classi laterali. A livello terorico sono facili da enunciare ma a livello pratico non so proprio come muovermi...help!!! 
Prova a pensare a cosa dice bezout...
Procedendo per induzione sul numero di generatori del sottogruppo arrivi a determinare che ogni sottogruppo di $ZZ$ è un ciclico infinito e quindi isomorfo a $ZZ$ e il gruppo quoziente e $ZZ_n$ per un qualche $n$.
Per $ZZ_n$ puoi dimostrare che per divisore $d$ di $n$ esiste un solo sottogruppo di di ordine $d$
Procedendo per induzione sul numero di generatori del sottogruppo arrivi a determinare che ogni sottogruppo di $ZZ$ è un ciclico infinito e quindi isomorfo a $ZZ$ e il gruppo quoziente e $ZZ_n$ per un qualche $n$.
Per $ZZ_n$ puoi dimostrare che per divisore $d$ di $n$ esiste un solo sottogruppo di di ordine $d$
No, scusa per $ZZ$ quello non basta... Dimostra solo che quella cosa vale per i sottogruppi finitamente generati.
Ogni sottoinsieme di $NN$ ha un minimo. Considera quindi il sottoinsieme degli elementi positivi (quindi levi anche lo 0) del sottogruppo. Quindi esisterà un elemento minimo $n$. Supponi che esista un numero $m$ che non è multiplo di $n$, allora per bezout esisterà una loro combinazione tale che $an + bm = (n,m)$ ma $(m,n)$ è minore di $n$ e quindi si è arrivati ad una contraddizione e quindi ogni sottogruppo è ciclico generato da $n$.
Ogni sottoinsieme di $NN$ ha un minimo. Considera quindi il sottoinsieme degli elementi positivi (quindi levi anche lo 0) del sottogruppo. Quindi esisterà un elemento minimo $n$. Supponi che esista un numero $m$ che non è multiplo di $n$, allora per bezout esisterà una loro combinazione tale che $an + bm = (n,m)$ ma $(m,n)$ è minore di $n$ e quindi si è arrivati ad una contraddizione e quindi ogni sottogruppo è ciclico generato da $n$.
grazie 1000! nessuno ha idea di come si trovano le partizioni in classi laterali??
"elfo88":
grazie 1000! nessuno ha idea di come si trovano le partizioni in classi laterali??
Quelle sono isomorfe a $ZZ_n$. Prova a ragionare sulla definizione della relazione e vedere quando due numeri appartengono allo stesso laterale...
domani ho l'orale!! non vi viene in mente niente sulle partizioni in classi laterali di Z6??? help me!!
$[1],[2],[3],[4],[5],[0]$
I sottogruppi (ovviamente normali) sono $ZZ_6, <[2]>, <[3]>, \{[1]\}$
$ZZ_6//<[2]> \cong ZZ_2$ costituita da $[0]+<[2]>$ e $[1]+<[2]>$
$ZZ_6//<[3]> \cong ZZ_3$ costituita da $[0]+<[3]>$, $[1]+<[3]>$ e $[2]+<[3]>$
I sottogruppi (ovviamente normali) sono $ZZ_6, <[2]>, <[3]>, \{[1]\}$
$ZZ_6//<[2]> \cong ZZ_2$ costituita da $[0]+<[2]>$ e $[1]+<[2]>$
$ZZ_6//<[3]> \cong ZZ_3$ costituita da $[0]+<[3]>$, $[1]+<[3]>$ e $[2]+<[3]>$
grazie ancora vict85!!
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