Sottogruppi di Sylow

[deserto1]

Ciao
Il problema è il seguente:
Trovare i sottogruppi di Sylow di $ZZ//ZZ_10xK$ dove $K$ è il gruppo di Klein.
Dire inoltre se il gruppo è semplice.
Inizio coll'osservare che $o(ZZ//ZZ_10xK)=40=2^3*5$.
Si tratta allora di trovare i $2$-Sylow e i $5$-Sylow.
Per quello che riguarda i $5$-Sylow abbiamo che il loro numero è $1+5n$ con $1+5n$ che divide $2^3$, pertanto c'è un solo $5$-Sylow, essendo unico esso è normale, chiamiamolo $N_5$ e pertanto ho che $ZZ//ZZ_10xK$ è un gruppo semplice.
Osservato che $ZZ//ZZ_10xK ~~ ZZ//ZZ_2xZZ//ZZ_5xK$, posso determinare $N_5={([0]_2,[m]_5,1); m=0,1,2,3,4}$ qui $1$ denota l'elemento unità di $K$.
Passo ora a determinare i $2$-Sylow: sono in numero di $1+2n$ con $1+2n$ che divide $5$, quindi o ne abbiamo uno solo oppure ce ne sono $5$. Anche qui direi che c'è un solo $2$-Sylow ed ha ordine $8$ ed è: $N_2={([r]_2,[0]_5,a); r=0,1 $ $ e $ $ a in {1,i,j,k}}.
E' tutto corretto?
Grazie

[mistake89]

Se hai trovato un sottogruppo normale non banale allora il gruppo non è semplice.

[deserto1]

Giusta osservazione. Ho ricontrollato adesso la definizione di gruppo semplice e hai ragione. Grazie