Sottogruppi di S4

[Mrhaha]

Salve ragazzi!
Ho un problema con un esercizio di algebra che mi chiede di determinare i 2-sottogruppi di Sylow e 3-sottogruppi di Sylow di $ S4 $, ho pensato che la cardinalità dei 2-sottogruppi deve essere 8,ma non penso che debba mettermi a calcolarmi tutte e 24 le permutazioni! Qualche aiuto?

[vict85]

Ci ho pensato poco comunque penso che un modo possa essere quello di ragionare su come sia fatto un p-Sylow e in particolare come sono fatti gli elementi di ordine una potenza di p...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Vedi qui.

[Mrhaha]

mmm...provo a pensarci!

[Mrhaha]

Sicuramente i 2 sottogruppi di Sylow hanno cardinalità 8,ma non capisco perchè possiamo dire che è diedrale,nel senso che isomorfo a $D8$?

[vict85]

"Mrhaha":Sicuramente i 2 sottogruppi di Sylow hanno cardinalità 8,ma non capisco perchè possiamo dire che è diedrale,nel senso che isomorfo a $D8$?

$D_8$ è un sottogruppo di $S_4$ di ordine $8$ e quindi è un $2$-Sylow. D'altra parte è isomorfo ad ogni altro $2$-Sylow e quindi ogni $2$-Sylow è un gruppo diedrale.

[Mrhaha]

Perfetto,grazie!