Sottogruppi di $S_4$
A) perchè i sottogruppi di $S_4$ di ordine 6 sono isomorfi a $S_3$?
B) perchè $S_4$ possiede un solo sottogruppo di ordine 12?
B) perchè $S_4$ possiede un solo sottogruppo di ordine 12?
Risposte
Cominciamo con il punto (A).
Se un gruppo di ordine $6$ non e' (isomorfo a) $S_3$ allora cosa altro potrebbe essere? Perche' in $S_4$, questo gruppo alternativo non ci puo' essere?
Per il punto (B). $A_4$ e' un sottogruppo di ordine $12$. Supponiamo che $H$ sia un altro sottogruppo di ordine $12$. $H$ deve avere almeno un elemento di ordine $2$ e almeno un elemento di ordine $3$. D'altra parte, se $H$ non e' $A_4$, deve avere almeno una permutazione dispari. Facciamo un po' di conti e...
Se un gruppo di ordine $6$ non e' (isomorfo a) $S_3$ allora cosa altro potrebbe essere? Perche' in $S_4$, questo gruppo alternativo non ci puo' essere?
Per il punto (B). $A_4$ e' un sottogruppo di ordine $12$. Supponiamo che $H$ sia un altro sottogruppo di ordine $12$. $H$ deve avere almeno un elemento di ordine $2$ e almeno un elemento di ordine $3$. D'altra parte, se $H$ non e' $A_4$, deve avere almeno una permutazione dispari. Facciamo un po' di conti e...
A) dovrebbe essere ciclico di ordine 6 quindi dovrebbe esserci in $S_4$ un elemento di ordine 6 che lo genera.In $S_4$ non ci sono elementi di ordine 6
B) se N è un sottogruppo di $S_4$ ed |N|=12 allora N è normale in $S_4$?
B) se N è un sottogruppo di $S_4$ ed |N|=12 allora N è normale in $S_4$?
"gbspeedy":
A) dovrebbe essere ciclico di ordine 6 quindi dovrebbe esserci in $S_4$ un elemento di ordine 6 che lo genera.In $S_4$ non ci sono elementi di ordine 6
È corretto, ma devi dare delle motivazioni alle tue frasi.
"gbspeedy":
B) se N è un sottogruppo di $S_4$ ed |N|=12 allora N è normale in $S_4$?
Risulta che \(\displaystyle \lvert S_4 \rvert = 2\times 3\times 4 = 24 = 12\times 2 \).
"vict85":
[quote="gbspeedy"]A) dovrebbe essere ciclico di ordine 6 quindi dovrebbe esserci in $S_4$ un elemento di ordine 6 che lo genera.In $S_4$ non ci sono elementi di ordine 6
È corretto, ma devi dare delle motivazioni alle tue frasi.
"gbspeedy":
B) se N è un sottogruppo di $S_4$ ed |N|=12 allora N è normale in $S_4$?
Risulta che \(\displaystyle \lvert S_4 \rvert = 2\times 3\times 4 = 24 = 12\times 2 \).[/quote]
Non ho ben capito perchè l'unico sottogruppo di ordine 12 di S4 è il gruppo alterno. Grazie
Un sottogruppo di ordine $12$ in $S_4$ e' normale perche' ha indice $2$.
Un gruppo di ordine $12$ deve contenere almeno un elemento di ordine $2$ ed almeno un elemento di ordine $3$. Come sono fatti gli elementi di ordine $2$ e di ordine $3$ in $S_4$?
Quelli di ordine $2$ possono essere semplici trasposizioni (come $(1,2)$) o doppi scambi (come $(1,2)(3,4)$).
Quelli di ordine $3$ devono essere per forza $3$-cicli (come $(1,2,3)$).
Puoi far vedere che se un sottogruppo normale contiene un $3$-ciclo e una trasposizione semplice, allora e' tutto $S_4$.
Se invece contiene un $3$-ciclo e un doppio scambio, allora e' $A_4$.
Un gruppo di ordine $12$ deve contenere almeno un elemento di ordine $2$ ed almeno un elemento di ordine $3$. Come sono fatti gli elementi di ordine $2$ e di ordine $3$ in $S_4$?
Quelli di ordine $2$ possono essere semplici trasposizioni (come $(1,2)$) o doppi scambi (come $(1,2)(3,4)$).
Quelli di ordine $3$ devono essere per forza $3$-cicli (come $(1,2,3)$).
Puoi far vedere che se un sottogruppo normale contiene un $3$-ciclo e una trasposizione semplice, allora e' tutto $S_4$.
Se invece contiene un $3$-ciclo e un doppio scambio, allora e' $A_4$.
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