Sottogruppi di permutazioni....help!!
Salve a tutti,
sono veramente disperata...Qualcuno mi sa dire come si risolve questo esercizio????
Si consideri il gruppo delle permutazioni (S4,°) e si considerino:
H1={ (12)°(34), (13)°(24), (14)°(23), 1S4}
H2={(143), (134), 1S4}
Si provi che H1,H2 sono entrambi sottogruppo di S4 e che uno solo di essi è ciclico.
Come si fa???
ringrazio di cuore chi mi aiuta..
sono veramente disperata...Qualcuno mi sa dire come si risolve questo esercizio????
Si consideri il gruppo delle permutazioni (S4,°) e si considerino:
H1={ (12)°(34), (13)°(24), (14)°(23), 1S4}
H2={(143), (134), 1S4}
Si provi che H1,H2 sono entrambi sottogruppo di S4 e che uno solo di essi è ciclico.
Come si fa???
ringrazio di cuore chi mi aiuta..
Risposte
Un sottoinsieme $H$ è un sottogruppo se:
1) è chiuso rispetto all'operazione;
2) per ogni elemento di $H$, l'inverso appartiene ad $H$
3) contiene l'identità (condizione verificata da $H_1$ e $H_2$).
Osserva che in $H_1$ ogni elemento è inverso di se stesso, quindi vale la condizione 2) ed il sottogruppo non è ciclico.
Poi verifica che componendo due elementi di $H_1$ diversi dall'identità trovi il restante elemento diverso dall'identità.
Allora $H_2$ è ciclico. Infatti $(143)\cdot(143)=(134)$ e $(143)\cdot(143)\cdot(143)=(134)\cdot(143)=1$.
1) è chiuso rispetto all'operazione;
2) per ogni elemento di $H$, l'inverso appartiene ad $H$
3) contiene l'identità (condizione verificata da $H_1$ e $H_2$).
Osserva che in $H_1$ ogni elemento è inverso di se stesso, quindi vale la condizione 2) ed il sottogruppo non è ciclico.
Poi verifica che componendo due elementi di $H_1$ diversi dall'identità trovi il restante elemento diverso dall'identità.
Allora $H_2$ è ciclico. Infatti $(143)\cdot(143)=(134)$ e $(143)\cdot(143)\cdot(143)=(134)\cdot(143)=1$.
grazie!...la tua spiegazione è stata molto chiara! 
Ho dei problemi a trovare gli omomorfismi tra gruppi finiti...non ho capito proprio la procedura, perchè sui miei appunti non è chiara.Qualcuno mi saprebbe consigliare qualche documento dove sono spiegati bene?
Per esempio, quali sono le linee guida per svolgere questo esercizio??
Si consideri il sottogruppo H2={(134),(143), 1S4} di (S4,°).Si trovino gli omomorfismi surgettivi f:(Z6, +)->(H2,°) e il corrispondente nucleo
Ho dei problemi a trovare gli omomorfismi tra gruppi finiti...non ho capito proprio la procedura, perchè sui miei appunti non è chiara.Qualcuno mi saprebbe consigliare qualche documento dove sono spiegati bene?
Per esempio, quali sono le linee guida per svolgere questo esercizio??
Si consideri il sottogruppo H2={(134),(143), 1S4} di (S4,°).Si trovino gli omomorfismi surgettivi f:(Z6, +)->(H2,°) e il corrispondente nucleo
Prego!!
$(\mathbb Z_6, +)$ è un gruppo ciclico. Un omomorfismo con dominio un gruppo ciclico $G$ è definito se è nota l'immagine di un generatore $g$, poiche'
$\phi(n g) = [\phi(g)]^n$ (per $G$ uso la notazione additiva come in $\mathbb Z_6$, esempio $\phi(g+g+g) = [\phi(g)]^3$)
Per definire un omomorfismo è quindi sufficiente assegnare ad un generatore una immagine (se $g$ ha periodo finito $m$ si deve associare una immagine il cui periodo sia un divisore di $m$)
I generatori di $\mathbb Z_6$ sono $1$ e $5$. $H_2$ è ciclico con generatori $(134)$ e $(143)$ di periodo $3$, divisore di $6$.
Poiché vuoi omomorfismi suriettivi, escludi l'omorfismo
$\phi(1)=1$ con $ker \phi = \mathbb Z_6$
e determini due omomorfismi suriettivi ponendo:
$\phi_1(1):=(134)$
$\phi_2(1):=(143)$
Il nucleo è in entrambi i casi ${0,3}$.
$(\mathbb Z_6, +)$ è un gruppo ciclico. Un omomorfismo con dominio un gruppo ciclico $G$ è definito se è nota l'immagine di un generatore $g$, poiche'
$\phi(n g) = [\phi(g)]^n$ (per $G$ uso la notazione additiva come in $\mathbb Z_6$, esempio $\phi(g+g+g) = [\phi(g)]^3$)
Per definire un omomorfismo è quindi sufficiente assegnare ad un generatore una immagine (se $g$ ha periodo finito $m$ si deve associare una immagine il cui periodo sia un divisore di $m$)
I generatori di $\mathbb Z_6$ sono $1$ e $5$. $H_2$ è ciclico con generatori $(134)$ e $(143)$ di periodo $3$, divisore di $6$.
Poiché vuoi omomorfismi suriettivi, escludi l'omorfismo
$\phi(1)=1$ con $ker \phi = \mathbb Z_6$
e determini due omomorfismi suriettivi ponendo:
$\phi_1(1):=(134)$
$\phi_2(1):=(143)$
Il nucleo è in entrambi i casi ${0,3}$.
Mi spiace ma non ho capito bene il procedimento...non riesco ad applicarlo ad altri esercizi...
Se per esempio dobbiamo definire un omomorfismo f: (Z4,+) -> (Z8,+) tale che f([1]4) =[2]8 (dove [1]4 è la classe di equivalenza 1 in Z4 e [2]8 è la classe di equivalenza 2 in Z8)
Come procedo?
So che Z4 è ciclico e [1] ne è generatore. Si sa che per il teorema di lagrange il periodo di f(x) deve dividere la cardinalità di Z8, infatti 4 divide 8.
...non ho capito come procedere
Se per esempio dobbiamo definire un omomorfismo f: (Z4,+) -> (Z8,+) tale che f([1]4) =[2]8 (dove [1]4 è la classe di equivalenza 1 in Z4 e [2]8 è la classe di equivalenza 2 in Z8)
Come procedo?
So che Z4 è ciclico e [1] ne è generatore. Si sa che per il teorema di lagrange il periodo di f(x) deve dividere la cardinalità di Z8, infatti 4 divide 8.
...non ho capito come procedere
"priscilla84":
Salve a tutti,
sono veramente disperata...Qualcuno mi sa dire come si risolve questo esercizio????
Si consideri il gruppo delle permutazioni (S4,°) e si considerino:
H1={ (12)°(34), (13)°(24), (14)°(23), 1S4}
H2={(143), (134), 1S4}
Si provi che H1,H2 sono entrambi sottogruppo di S4 e che uno solo di essi è ciclico.
Come si fa???
ringrazio di cuore chi mi aiuta..
Ok, siamo in $S_4$.
Chiamiamo per comodità l'elemento neutro $e$ (è comune farlo).
$H_1 = {(12)(34),\ (12)(24),\ (14)(23),\ e}$
Per vedere che è un sottogruppo basta verificare la chiusura (che il prodotto sia chiuso). Questo perché contiene l'identità e ogni suo elemento esclusa l'identità ha ordine 2 e quindi ha come inverso se stesso. Questo fatto dimostra anche che non è ciclico.
$H_2 = {(143), (134), e}$
In questo caso è ancora più semplice perché si nota che $(134) = (143)^2$ e $(143)^3 = e$ e quindi $H_2$ è generato da $(143)$ e in quanto tale è sicuramente un sottogruppo (ciclico).
"priscilla84":
grazie!...la tua spiegazione è stata molto chiara!
Ho dei problemi a trovare gli omomorfismi tra gruppi finiti...non ho capito proprio la procedura, perchè sui miei appunti non è chiara.Qualcuno mi saprebbe consigliare qualche documento dove sono spiegati bene?
Per esempio, quali sono le linee guida per svolgere questo esercizio??
Si consideri il sottogruppo H2={(134),(143), 1S4} di (S4,°).Si trovino gli omomorfismi surgettivi f:(Z6, +)->(H2,°) e il corrispondente nucleo
Per prima cosa tieni presente che ogni omomorfismo a come nucleo un sottogruppo normale.
In $Z_6$ ci sono 4 sottogruppi normali: $Z_6, \ <2>,\ <3>, {0}$.
Consideriamo quindi i gruppo quoziente che dovranno essere isomorfi all'immagine dell'omomorfismo. L'immagine dell'isomorfismo dovrà essere un sottogruppo di $H_2$ e $H_2$ ha come sottogruppi solo ${e}$ e $H_2$ che hanno ordine rispettivamente $1$ e $3$. Quindi ci sono al più 2 omorfismi (e in questo caso ci sono 2 isomorfismi). Il fatto che siano tutti sottogruppi ciclici facilità molto le cose.
$[Z_6\ :\ <2>] = 2$ e non ci sono sottogruppi di ordine 2, quindi $<2>$ non è nucleo di alcun omomorfismo tra $Z_6$ e $H_2$.
$[Z_6\ :\ <3>] = 3$ ed è il nucleo dell'omofismo che identifica $Z_6//<3>$ con $H_2$ che è quindi suriettivo.
$[Z_6\ :\ {0}] = 6$ e non ci sono sottogruppi di ordine 6, quindi ${0}$ non è nucleo di alcun omomorfismo tra $Z_6$ e $H_2$.
$[Z_6\ :\ Z_6] = 3$ ed è il nucleo dell'omofismo che identifica $Z_6//Z_6$ con ${e}$
"priscilla84":
Mi spiace ma non ho capito bene il procedimento...non riesco ad applicarlo ad altri esercizi...
Se per esempio dobbiamo definire un omomorfismo f: (Z4,+) -> (Z8,+) tale che f([1]4) =[2]8 (dove [1]4 è la classe di equivalenza 1 in Z4 e [2]8 è la classe di equivalenza 2 in Z8)
Come procedo?
So che Z4 è ciclico e [1] ne è generatore. Si sa che per il teorema di lagrange il periodo di f(x) deve dividere la cardinalità di Z8, infatti 4 divide 8.
...non ho capito come procedere
Seguendo quello che ho fatto prima...
$Z_4$ ha 3 sottogruppi normali (in un gruppo abeliano tutti i sottogruppi sono abeliani e in un gruppo ciclico c'é esattamente un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine del gruppo). Essi sono quindi ${0}$ e $Z_4$ e $<2>$.
I sottogruppi di $Z_8$ sono $<2>, <4>, {0}$ e $Z_8$. Gli omorfismi sono quindi:
$f: Z_4 \rightarrow <2> \sub Z_8$ con $ker(f) = {0}$
$g: Z_4 \rightarrow <4> \sub Z_8$ con $ker(f) = <2>$
$h: Z_4 \rightarrow {0} \sub Z_8$ con $ker(f) = Z_4$
$f$ è quello che stai cercando.
Mi sono dimenticato di aggiungere un piccolo particolare.
Il numero degli omomorfismi che ho contato è inferiore a quello di 5Ingold perché io non ho distinto due omorfismi se avevano lo stesso nucleo.
Per avere il numero di 5Ingold devi moltiplicare ogni omorfismo che ho trovato per il numero di generatori del gruppo quoziente o se preferisci del sottogruppo che è immagine dell'omorfismo.
Quindi nell'ultimo caso $1_4$ si può identificare con $2_8$ o con $6 _8$
Il numero degli omomorfismi che ho contato è inferiore a quello di 5Ingold perché io non ho distinto due omorfismi se avevano lo stesso nucleo.
Per avere il numero di 5Ingold devi moltiplicare ogni omorfismo che ho trovato per il numero di generatori del gruppo quoziente o se preferisci del sottogruppo che è immagine dell'omorfismo.
Quindi nell'ultimo caso $1_4$ si può identificare con $2_8$ o con $6 _8$
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