Sottogruppi di \((\mathbb{Z},+)\) e loro generatori

[Tonno Sfortunato]

\(\Box\) Dimostrare che \(H=a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\) è un sottogruppo di \((\mathbb{Z},+)\), e determinare se è generato dagli elementi \(a\) e \(b+7a\).

Prima di tutto, l'insieme \(H\) non è vuoto: ad esempio, \(a+b\in H\). Inoltre, dati \(x,y\in H\) si ha: \[ xy^{-1}=x-y=(az_1+bz_2)-(az_1'+bz_2')=a(z_1-z_1')+b(z_2-z_2')\in H,\] quindi \(H\) è un sottogruppo proprio di \(G\). Sul secondo punto ho delle incertezze. Dovrei dimostrare che \(x=an+bm\in H\) può essere scritto come \(n'a+m'(b+7a)\).

Uguagliando, ottengo \(an+bm=(n'+7m')a+bm'\). Dal confronto di coefficenti simili, vedo che basta scegliere \(m'=m\), e quindi \(n'=n-7m\) per ottenere l'uguaglianza. Questo basta per concludere che la coppia \((a, b+7a)\) genera \(H\)?

Ciao.

[otta96]

"Tonno Sfortunato":quindi \(H\) è un sottogruppo proprio di \(G\).

Hai dimostrato che è un sottogruppo, nessuno ti dice che è proprio.

Questo basta per concludere che la coppia \((a, b+7a)\) genera \(H\)?

Si

[Tonno Sfortunato]

Perfetto, ti ringrazio otta96!