Sottogruppi di gruppi ciclici

mmattiak · 2014-11-08CET19:39:51+01:00

"Come dimostrereste che un sottogruppo di un gruppo ciclico \u00e8 a sua volta ciclico?"

Kashaman

8 nov 2014, 19:09

tu come lo dimostreresti?

mmattiak

8 nov 2014, 20:08

Io scriverei prima di tutto le condizioni per le quali un sottoinsieme è un sottogruppo, e poi dividerei i casi di gruppi ciclici finiti e gruppi ciclico non finiti

mmattiak

9 nov 2014, 10:04

Sbaglio?

mmattiak

9 nov 2014, 18:59

Ragazzi, non riesco a dimostrare che i sottogruppi di gruppi ciclici sono a loro volta ciclici. Mi potreste aiutare?

Trilogy

9 nov 2014, 20:22

Scrivo in notazione moltiplicativa.
Esiste $x\in G$ tale che $G=\langle x\rangle$. Sia $H\subseteq G$.
Se $H=\{1\}$, allora $H=\langle1\rangle$.
Sia $H\ne\{1\}$. Definiamo $$A:=\{n\in\mathbb N\setminus\{0\}\mid x^n\in H\},$$e vediamo che $A\ne\emptyset$, poiché esiste $y\in H$, con $y\ne1$. Esiste $k\in\mathbb Z$ tale che $y=x^k$. Si ha che $k\ne0$, perché altrimenti avremmo $x^k=1$, ma $x^k=y\ne1$. Inoltre $x^{-k}=y^{-1}\in H$. Quindi uno tra $k$ e $-k$ appartiene ad $A$.
Sia $$m:=\min(A).$$Verifichiamo che $H=\langle x^m\rangle$.

($\supseteq$)
$x^m\in H$ per costruzione. Per ogni $c\in\mathbb Z$, $(x^m)^c\in H$ perché $H$ è sottogruppo.

($\subseteq$)
Sia $y\in H$. Allora esiste $\alpha\in\mathbb N$ tale che $y=x^\alpha$ ($G$ è generato da $x$). Allora $$\alpha=qm+r,\qquad q\in\mathbb Z,\quad 0\le r< m,$$ e quindi si ha che $$y=x^\alpha=(x^m)^qx^r,$$ da cui si ricava che $$x^r=(x^m)^{-q}y\in H,$$ poiché è prodotto di due elementi di $H$. Allora ci sono due possibilità: $r\ne0$ oppure $r=0$.
Se $r\ne0$, allora $r\in A$, con $r