Sottogruppi Derivati e Caratteristici
Salve.
Sto preparando l'esame di Complementi di Algebra, corso di Matematica per l'insegnamento.
Premetto che le mie conoscenze di algebra si fermano a inizio 2006, ancora l'italia non era campione del mondo...
Comunque, il problema è il seguente:
viene data la definizione di sottogruppo caratteristico come quel sottogruppo H di G che viene mutato in sè da ogni automorfismo alpha.
L'osservazione successiva che trovo nei miei appunti è che tutti i derivati sono caratteristici.
Ora, io come definizione di sottogruppo derivato ho che è quel sottogruppo di G generato dai commutatori.
Per cui ho inizialmente pensato di provare a mostrare che se un gruppo è derivato, è anche caratteristico. Giusto?
Bene, ho preso un elemento di G': [a,b]. Dovrei riuscire a dimostrare che tale elemento muta in se per qualsiasi automorfismo.
Ma non riesco assolutamente ad andare avanti per questa strada.
Allora ho trovato un'osservazione che dice che se k è un omomorfismo suriettivo da G in H, allora k(G')=H'.
Avendo io un automorfismo, ho in particolare un omomorfismo da G in G. Dunque k(G')=G'.
Penso di essere giunto alla conclusione giusta, ma vorrei togliermi un dubbio. H è caratteristico se viene mutato in sè da ogni automorfismo...ma "mutato in sè" significa che che alpha(H)=H ?
oppure che lascia proprio fisso ogni elemento di H?
Sono quasi sicuro che un conto sia lasciar fissi tutti gli elementi di H e un altro sia dire "H è mutato in sè", ma gradirei avere una conferma, grazie.
Sto preparando l'esame di Complementi di Algebra, corso di Matematica per l'insegnamento.
Premetto che le mie conoscenze di algebra si fermano a inizio 2006, ancora l'italia non era campione del mondo...
Comunque, il problema è il seguente:
viene data la definizione di sottogruppo caratteristico come quel sottogruppo H di G che viene mutato in sè da ogni automorfismo alpha.
L'osservazione successiva che trovo nei miei appunti è che tutti i derivati sono caratteristici.
Ora, io come definizione di sottogruppo derivato ho che è quel sottogruppo di G generato dai commutatori.
Per cui ho inizialmente pensato di provare a mostrare che se un gruppo è derivato, è anche caratteristico. Giusto?
Bene, ho preso un elemento di G': [a,b]. Dovrei riuscire a dimostrare che tale elemento muta in se per qualsiasi automorfismo.
Ma non riesco assolutamente ad andare avanti per questa strada.
Allora ho trovato un'osservazione che dice che se k è un omomorfismo suriettivo da G in H, allora k(G')=H'.
Avendo io un automorfismo, ho in particolare un omomorfismo da G in G. Dunque k(G')=G'.
Penso di essere giunto alla conclusione giusta, ma vorrei togliermi un dubbio. H è caratteristico se viene mutato in sè da ogni automorfismo...ma "mutato in sè" significa che che alpha(H)=H ?
oppure che lascia proprio fisso ogni elemento di H?
Sono quasi sicuro che un conto sia lasciar fissi tutti gli elementi di H e un altro sia dire "H è mutato in sè", ma gradirei avere una conferma, grazie.
Risposte
Sì, dire (1) "[tex]\alpha(H)=H[/tex]" è diverso da dire (2) "[tex]\alpha(h)=h\ \forall h \in H[/tex]".
(1) è equivalente a "[tex]\alpha(h) \in H\ \forall h \in H[/tex]".
Per mostrare che il derivato di un gruppo è caratteristico ti basta osservare che ogni automorfismo manda commutatori in commutatori. In generale se un automorfismo [tex]\alpha[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] agisce su (permuta) un fissato insieme di generatori di un sottogruppo [tex]H \leq G[/tex] (o anche solo lo manda tutto dentro [tex]H[/tex]) allora fissa [tex]H[/tex], nel senso che [tex]\alpha(H)=H[/tex], cioè [tex]\alpha(h) \in H\ \forall h \in H[/tex]. Se ci pensi un po' questo diventa ovvio
(1) è equivalente a "[tex]\alpha(h) \in H\ \forall h \in H[/tex]".
Per mostrare che il derivato di un gruppo è caratteristico ti basta osservare che ogni automorfismo manda commutatori in commutatori. In generale se un automorfismo [tex]\alpha[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] agisce su (permuta) un fissato insieme di generatori di un sottogruppo [tex]H \leq G[/tex] (o anche solo lo manda tutto dentro [tex]H[/tex]) allora fissa [tex]H[/tex], nel senso che [tex]\alpha(H)=H[/tex], cioè [tex]\alpha(h) \in H\ \forall h \in H[/tex]. Se ci pensi un po' questo diventa ovvio
non ho capito molto la tua linea di dimostrazione, ma l'importante era togliermi il dubbio tra le due opzioni...
è un dubbio che di sicuro fuori d'esame non avrei avuto, ma lì per lì a trovarlo scritto mi è venuto fuori...
grazie!
è un dubbio che di sicuro fuori d'esame non avrei avuto, ma lì per lì a trovarlo scritto mi è venuto fuori...
grazie!
Quello che voglio dire è semplicemente che se un automorfismo [tex]\alpha[/tex] manda un insieme di generatori di [tex]H[/tex] dentro [tex]H[/tex] allora dato che rispetta il prodotto manderà ogni prodotto di generatori di H (cioè ogni elemento di H) dentro H.
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