Sottogruppi con lo stesso indice

[matematicus95]

Sia $G$ un gruppo e $H$ e $K$ due sottogruppi tali che: $|G:H|=|G:K|=t$ con $t$ numero naturale e $H<=K<=G$ si può dire che $H$ e $K$ sono uguali?

[Martino]

Sì

[matematicus95]

Come posso dimostrarlo?

[dan952]

$[G]=|G|/|H|=[G]=|G|/|K| \Leftrightarrow |H|=|K|$, poiché $H \leq K$ segue $H=K$, infatti l'applicazione $g: K \mapsto H$ è suriettiva e per motivi di cardinalità (stiamo parlando di gruppi finiti) è iniettiva e dunque è biiettiva.

[matematicus95]

Non c'erano ipotesi sulla cardinalità di $G$, quindi se $G$ è infinito?

[dan952]

L'applicazione agisce in modo che $g(k)=k$ se $k \in H$ e $g(k)=e$ altrimenti. Essendo iniettiva $g(k)=e \Leftrightarrow k=e$, da cui segue che $g-=id_{K}$. Tutto supponendo $G$ finito. Il caso infinito ci penso...

[Martino]

C'è un fatto generale che è il seguente: se un gruppo $G$ ha un sottogruppo $H$ di indice finito $n$ allora detto [tex]N = \bigcap_{g \in G} g^{-1}Hg[/tex] (questo $N$ si chiama cuore normale di $H$ in $G$ - normal core) si hanno i seguenti fatti.

1. $N$ è un sottogruppo normale di $G$.
2. $N$ è contenuto in $H$.
3. L'indice di $N$ in $G$ è finito, minore o uguale di $n!$.

Quindi nel tuo caso puoi considerare il quoziente $G//N$ che è un gruppo finito (!), mostrare che $H//N=K//N$ come suggerito da dan95 e dedurre $H=K$.