Sottogruppi ciclici e normali
Ciao a tutti!
Devo chiedere lumi riguardo ad una dimostrazione che non riesco a fare. Spero qualcuno possa darmi una mano...
Supponiamo di avere un gruppo G, un sottogruppo T di G e un sottogruppo L di T.Devo dimostrare che se T è ciclico allora L è un sottogruppo normale di G. Qualcuno ha qualche idea?
Ciao e grazie!
Devo chiedere lumi riguardo ad una dimostrazione che non riesco a fare. Spero qualcuno possa darmi una mano...
Supponiamo di avere un gruppo G, un sottogruppo T di G e un sottogruppo L di T.Devo dimostrare che se T è ciclico allora L è un sottogruppo normale di G. Qualcuno ha qualche idea?
Ciao e grazie!
Risposte
Prende G = S(3), L = T = <(1 2)>
L è un sottogruppo di T, T è un sottogruppo ciclico di G.
Prendiamo l'elemento (1 3) di G.
(1 3)(1 2)(1 3)⁻¹ = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3), che non è in L.
Quindi L non è un sottogruppo normale di G...
L è un sottogruppo di T, T è un sottogruppo ciclico di G.
Prendiamo l'elemento (1 3) di G.
(1 3)(1 2)(1 3)⁻¹ = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3), che non è in L.
Quindi L non è un sottogruppo normale di G...
"n_sign":Manca sicuramente qualche ipotesi. L'ipotesi che manca potrebbe essere che $T$ è normale in $G$.
Supponiamo di avere un gruppo G, un sottogruppo T di G e un sottogruppo L di T.Devo dimostrare che se T è ciclico allora L è un sottogruppo normale di G.
"Martino":Manca sicuramente qualche ipotesi. L'ipotesi che manca potrebbe essere che $T$ è normale in $G$.[/quote]
[quote="n_sign"]Supponiamo di avere un gruppo G, un sottogruppo T di G e un sottogruppo L di T.Devo dimostrare che se T è ciclico allora L è un sottogruppo normale di G.
Salve, con l'ipotesi di T normale in G come potrebbe essere dimostrato?
"Realman":Salve,
Salve, con l'ipotesi di T normale in G come potrebbe essere dimostrato?
osservando per esempio che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico.
Buongiorno,
Effettivamente mancava l'ipotesi che T è normale in G!!!
Ma un sottogruppo ciclico è sempre abeliano?se così fosse so che tutti i sottogruppi di un gruppo abeliano sono normali perciò avrei dimostrato che L è normale in T ma non in G giusto?...
Le proprietà che riguardano i gruppi valgono anche per i sottogruppi?
Scusate l'ignoranza ma sono nuovo
Grazie ancora!
Effettivamente mancava l'ipotesi che T è normale in G!!!
Ma un sottogruppo ciclico è sempre abeliano?se così fosse so che tutti i sottogruppi di un gruppo abeliano sono normali perciò avrei dimostrato che L è normale in T ma non in G giusto?...
Le proprietà che riguardano i gruppi valgono anche per i sottogruppi?
Scusate l'ignoranza ma sono nuovo
Grazie ancora!
"n_sign":
Ma un sottogruppo ciclico è sempre abeliano?
Certo, ogni gruppo ciclico è anche abeliano. Nota che non vale l'inverso; ovviamente, però puoi dire che se un gruppo non è abeliano allora non è nemmeno ciclico.
"n_sign":
Ma un sottogruppo ciclico è sempre abeliano?se così fosse so che tutti i sottogruppi di un gruppo abeliano sono normali perciò avrei dimostrato che L è normale in T ma non in G giusto?...
Le proprietà che riguardano i gruppi valgono anche per i sottogruppi?
In generale no, infatti se $H$ è stgr normale di $K$, che è stgr normale di $G$, non è detto che $H$ sia normale in $G$, per esempio prendi $<(12)>\subset "Klein" \subset S_4$. Se però $H$ è caratteristico in $K$ (come nel tuo caso, in quanto i sottogruppi di un ciclico sono caratteristici), e $K$ è normale in $G$, allora anche $H$ è normale in $G$
Grazie!!
In questo caso posso dimostrare che L è normale in T. E' di conseguenza normale anche in G (essendo T sottogruppo normale di G)?
Grazie ancora per l'aiuto ma devo ancora farci la mano su queste cose!!
In questo caso posso dimostrare che L è normale in T. E' di conseguenza normale anche in G (essendo T sottogruppo normale di G)?
Grazie ancora per l'aiuto ma devo ancora farci la mano su queste cose!!
esiste anche un altro modo di dimostrare la cosa senza utilizzare il fatto che un insieme ciclico è caratteristico?
"grandpri":
esiste anche un altro modo di dimostrare la cosa senza utilizzare il fatto che un insieme ciclico è caratteristico?
ci provo io.
L,T sono ciclici e abelliani. Se L non fosse normale in G allora
$EE \bar g$$ in G, t_1 in T$ tale che $ \bar g$$ * t_1 !=t_1* \bar g$
$EE t_2 in T $ tale che $ \bar g$$ *t_1 =t_2 * \bar g $ visto che T è normale in G
e si ha che $t_1 in L$ e $t_2 notin L$
edit: non riesco a concludere
ok..
T,L ciclici allora supp $T=$, $L=$
osserviamo che
$g*h^k*g^(-1)= (g*h*g^(-1))^k
quindi se l in L
$g*l*g^(-1) = g*h^(kt)*g^(-1) = (g*h^t*g^(-1))^k$ per qualche t
ma $(g*h^t*g^(-1)) in T$ e si può scrivere come $h^m$
e quindi $g*l*g^(-1)= h^(km)$ che sta in L
T,L ciclici allora supp $T=
osserviamo che
$g*h^k*g^(-1)= (g*h*g^(-1))^k
quindi se l in L
$g*l*g^(-1) = g*h^(kt)*g^(-1) = (g*h^t*g^(-1))^k$ per qualche t
ma $(g*h^t*g^(-1)) in T$ e si può scrivere come $h^m$
e quindi $g*l*g^(-1)= h^(km)$ che sta in L
Riapro questo argomento... esiste un modo di dimostrarlo senza usare il fatto che sia caratteristico?
Altrimenti potete spiegare meglio come si dimostra sfruttando il fatto che sia caratteristico?
grazie
Altrimenti potete spiegare meglio come si dimostra sfruttando il fatto che sia caratteristico?
grazie
Benvenuto nel forum.
Hai che [tex]T[/tex] è normale e ciclico in [tex]G[/tex]. Prendi [tex]L \leq T[/tex]. Siccome [tex]T[/tex] è ciclico, [tex]L[/tex] è l'unico sottogruppo di [tex]T[/tex] di ordine [tex]|L|[/tex] (questo è davvero facile da dimostrare se hai fatto un corso base base di teoria dei gruppi).
Ora prendi [tex]g \in G[/tex]. Bisogna dimostrare che [tex]g^{-1}Lg = L[/tex]. Ma siccome [tex]T[/tex] è normale e [tex]L \subseteq T[/tex] si deve avere [tex]g^{-1}Lg \subseteq g^{-1}Tg = T[/tex]. In altre parole, anche [tex]g^{-1}Lg[/tex] è un sottogruppo di [tex]T[/tex].
Ora, chiaramente [tex]|g^{-1}Lg| = |L|[/tex] (anche questo è facile da dimostrare), quindi per quanto detto sopra [tex]g^{-1}Lg = L[/tex].
Hai che [tex]T[/tex] è normale e ciclico in [tex]G[/tex]. Prendi [tex]L \leq T[/tex]. Siccome [tex]T[/tex] è ciclico, [tex]L[/tex] è l'unico sottogruppo di [tex]T[/tex] di ordine [tex]|L|[/tex] (questo è davvero facile da dimostrare se hai fatto un corso base base di teoria dei gruppi).
Ora prendi [tex]g \in G[/tex]. Bisogna dimostrare che [tex]g^{-1}Lg = L[/tex]. Ma siccome [tex]T[/tex] è normale e [tex]L \subseteq T[/tex] si deve avere [tex]g^{-1}Lg \subseteq g^{-1}Tg = T[/tex]. In altre parole, anche [tex]g^{-1}Lg[/tex] è un sottogruppo di [tex]T[/tex].
Ora, chiaramente [tex]|g^{-1}Lg| = |L|[/tex] (anche questo è facile da dimostrare), quindi per quanto detto sopra [tex]g^{-1}Lg = L[/tex].
$L$ è l'unico con $|L| = k$ perchè sappiamo che $L = $ dove $n = |L|$ e quindi a meno di isomorfismi $L$ è unico perchè generato da quell'elemento?
(Ti ringrazio per la tua cortesia e per l'impegno che metti nell'aiutarci.)
(Ti ringrazio per la tua cortesia e per l'impegno che metti nell'aiutarci.)
Scusate se riapro di nuovo, ma questa non potrebbe essere una soluzione ancora più semplice?
(Se è già stata postata chiedo venia, ma non riesco a leggere alcuni post)
Sia $N=$ sottogruppo normale ciclico di $G$, e $U=$. Prendiamo un generico elemento di $U$, $a^{k d}$:
$g a^{kd} g^{-1}=gagg^{-1}ag g^{-1}a\cdotsg^{-1}= (gag^{-1})^{kd}$, ma $g a g^{-1} \in N$, allora $\exists n$ tale che $g a g^{-1}=a^n$ per qualche $n$.
Allora $(gag^{-1})^{kd}=(a^n)^{kd}=a^{nkd} \in U$.
(Se è già stata postata chiedo venia, ma non riesco a leggere alcuni post)
Sia $N=$ sottogruppo normale ciclico di $G$, e $U=
$g a^{kd} g^{-1}=gagg^{-1}ag g^{-1}a\cdotsg^{-1}= (gag^{-1})^{kd}$, ma $g a g^{-1} \in N$, allora $\exists n$ tale che $g a g^{-1}=a^n$ per qualche $n$.
Allora $(gag^{-1})^{kd}=(a^n)^{kd}=a^{nkd} \in U$.
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