Sottogruppi ciclici di un gruppo dato

[isaac888]

Salve, potrei affermare che se $G$ è un gruppo allora i suoi sottogruppi CICLICI sono in corrispondenza biunivoca con $Hom(\mathbb{Z},G)$? L'idea è che $\forall f\in Hom(\mathbb{Z},G)$ si ha che $Im(f) Quindi un ragionamento simile se fosse giusto mi permetterebbe di contare i sottogruppi ciclici di un qualsiasi gruppo se fosse facile determinare la cardinalità dei suddetti omomorfismi giusto?

[4131]

Non so se ho capito bene, ma proverei ad esempio a contare gli omomorfismi

[tex]\phi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_4[/tex]

e i sottogruppi ciclici di [tex]\mathbb{Z}_4[/tex]?

[hydro1]

"Isaac888":Salve, potrei affermare che se $G$ è un gruppo allora i suoi sottogruppi CICLICI sono in corrispondenza biunivoca con $Hom(\mathbb{Z},G)$?

Quanti sottogruppi ciclici ha \(\mathbb Z/3\mathbb Z\)? E quanti elementi ha \(Hom(\mathbb{Z},\mathbb Z/3\mathbb Z)\)?

[4131]

@hydro[ot]

"hydro":
Quanti sottogruppi ciclici ha \(\mathbb Z/3\mathbb Z\)? E quanti elementi ha \(Hom(\mathbb{Z},\mathbb Z/3\mathbb Z)\)?

Quanto sei minimalista... [/ot]

[hydro1]

"413":@hydro[ot][quote="hydro"]
Quanti sottogruppi ciclici ha \(\mathbb Z/3\mathbb Z\)? E quanti elementi ha \(Hom(\mathbb{Z},\mathbb Z/3\mathbb Z)\)?

Quanto sei minimalista... [/ot][/quote]

Ah scusami non avevo letto il tuo messaggio

[isaac888]

Ok, $Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}\\3\mathbb{Z})$ ha 3 elementi (per l'altro esempio con $\mathbb{Z}\\4\mathbb{Z}$ sono 4) però ho solo $\mathbb{Z}\\3\mathbb{Z}$ e ${0}$ come sottogruppi ciclici.
La cosa vera è solo che l'immagine di un gruppo ciclico tramite un omomorfismo è un gruppo ciclico. Alcuni omomorfismi distinti generano lo stesso sottogruppo in $\mathbb{Z}\\m\mathbb{Z}$. Se riuscissi a quozientare gli omomorfismi che hanno la stessa immagine allora sarebbe vero.
Se $Hom(\mathbb{Z},\mathbb{Z}\m\mathbb{Z})$ fosse un gruppo mi sarei pure ingegnato a trovare un quoziente in cui due applicazioni siano equivalenti se hanno la stessa immagine in $\mathbb{Z}\\m\mathbb{Z}$ ma nemmeno così funziona. Pensavo fosse divertente la faccenda.
Vabbè, grazie lo stesso. Era solo per curiosità.

[4131]

Potresti però dimostrare che per [tex]G[/tex] abeliano (ovvero [tex]G[/tex] è [tex]\mathbb{Z}[/tex]-modulo)

[tex]\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},G)\simeq \,?[/tex]

[isaac888]

Da quanto ho capito c'è una bigezione tra $G$ e $Hom(\mathbb{Z},G)$ (come insiemi) dato che, essendo $\mathbb{Z}$ un gruppo libero con un solo generatore, senza relazioni, mi basta mandare il generatore $1$ in qualsiasi elemento di $G$ per avere un omomorfismo (a prescindere che $G$ sia abeliano o finito). Quindi l'applicazione che mi manda $g$ fissato nell'omomorfismo $1\rightarrow g$ è una funzione biunivoca.
Tale applicazione però non è detto che sia un omomorfismo però... se ho capito bene.
E comunque volevo proprio partire da questa idea per trovare (se esiste) una relazione tra il numero dei gruppi ciclici in un gruppo $G$ e $Hom(\mathbb{Z},G)$. So che per $G$ gruppo ciclico o al massimo abeliano esistono metodi più combinatori ed elementari, però credevo di aver trovato un'idea niente male.
Comunque purtroppo non ti ho capito dove volevi portarmi con quella proposta di dimostrazione

[4131]

"Isaac888":Comunque purtroppo non ti ho capito dove volevi portarmi con quella proposta di dimostrazione

Da nessuna parte, ho pensato ti interessasse capire meglio la struttura di

[tex]\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},G)[/tex]

e nel caso in cui [tex]G[/tex] è abeliano, è interessante. [strike]Strike that[/strike]
[ot]In effetti, il funtore

[tex]\mathrm{Hom}(\quad,G)\colon\mathsf{Ab}\to\mathsf{Ab}[/tex]

ha una sua rilevanza quando [tex]G[/tex] è abeliano...[/ot]