Sottogruppi ciclici
Sto cercando di dimostrare il seguente teorema ma ho dei dubbi.
Teorema: Sia G un gruppo finito con n elementi tale che per ogni divisore $d|n$ l’insieme
degli $x in G$ tali che $x^d= 1$ ha al più d elementi. Allora G è ciclico.
Dim:
Sia $d|n$ e supponiamo esista $x in G$ tale che $ord(x) = d$. Per ogni elemento $y in$ vale
$y^d = 1$ e quindi, per ipotesi, ogni altro elemento di G di ordine d appartiene a $$. Dunque di
elementi di ordine $d$ ce ne è o $phi(d)$ o nessuno.
Problema:
La dimostrazione continua ma già qui non riesco a capire perchè di
elementi di ordine $d$ ce ne possono essere $phi(d)$.
Qualcuno può aiutarmi??
Teorema: Sia G un gruppo finito con n elementi tale che per ogni divisore $d|n$ l’insieme
degli $x in G$ tali che $x^d= 1$ ha al più d elementi. Allora G è ciclico.
Dim:
Sia $d|n$ e supponiamo esista $x in G$ tale che $ord(x) = d$. Per ogni elemento $y in
$y^d = 1$ e quindi, per ipotesi, ogni altro elemento di G di ordine d appartiene a $
elementi di ordine $d$ ce ne è o $phi(d)$ o nessuno.
Problema:
La dimostrazione continua ma già qui non riesco a capire perchè di
elementi di ordine $d$ ce ne possono essere $phi(d)$.
Qualcuno può aiutarmi??
Risposte
Per il fatto che il gruppo ciclico finito generato da $x$, cioè $$, ha cardinalità $d$, quindi, essendo ciclico, ha $\phi(d)$ generatori.
"fabiola":
Sto cercando di dimostrare il seguente teorema ma ho dei dubbi.
Teorema: Sia G un gruppo finito con n elementi tale che per ogni divisore $d|n$ l’insieme
degli $x in G$ tali che $x^d= 1$ ha al più d elementi. Allora G è ciclico.
Dim:
Sia $d|n$ e supponiamo esista $x in G$ tale che $ord(x) = d$. Per ogni elemento $y in$ vale
$y^d = 1$ e quindi, per ipotesi, ogni altro elemento di G di ordine d appartiene a $$. Dunque di
elementi di ordine $d$ ce ne è o $phi(d)$ o nessuno.
Problema:
La dimostrazione continua ma già qui non riesco a capire perchè di
elementi di ordine $d$ ce ne possono essere $phi(d)$.
Qualcuno può aiutarmi??
E' molto semplice, per ogni $k > 0$ si ha che $x^k$ e' un generatore di $
"fabiola":
non riesco a capire perchè di
elementi di ordine $d$ ce ne possono essere $phi(d)$.
Perché un gruppo ciclico di ordine n ha esattamente $phi(n)$ generatori, uno per ogni coprimo con n compreso tra 1 e n.
Grazie a tutti e scusate se vi faccio perdere tempo con queste banalità....è che sto cercando di apprendere tanti concetti nuovi e avanzati, dopo un pò di anni di pausa e per capire articoli difficili, mi perdo nelle cose più semplici; comunque grazie ancora, perchè con voi sto riuscendo piano piano a rispolverare concetti basilari, che non vedevo da tempo
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