Sottogruppi
Salve, sono qui in cerca di aiuto, ho iniziato da poco lo studio dei gruppi e sto cercando di risolvere alcuni esercizi trovati su internet.
Dovrei dimostrare se
$H$ é un sottogruppo di $Z^2$
$H={ ( x,y )|x+y=1 }$
Allora:
1)l'elemento neutro non ho dubbi: $(e_Z, e_Z)=(0,0)$
2)Associativitá: devo verificare che $(x,y)*(t,z)=1*(t,z) in H$
In base alla definizione:
$(x+y)+(t+z)=1+(t+z) rArr x+y+t+z=1+t+z !in H$
3)elemento inverso: $(x,y)'=(x', y' ) = (-x,-y) !in H$
Infatti
$(x,y)*(-x,-y)!=1$
Posso concludere che $H$ non é un sottogruppo di $Z^2$.
Vi chiedo se va tutto bene. Grazie
Dovrei dimostrare se
$H$ é un sottogruppo di $Z^2$
$H={ ( x,y )|x+y=1 }$
Allora:
1)l'elemento neutro non ho dubbi: $(e_Z, e_Z)=(0,0)$
2)Associativitá: devo verificare che $(x,y)*(t,z)=1*(t,z) in H$
In base alla definizione:
$(x+y)+(t+z)=1+(t+z) rArr x+y+t+z=1+t+z !in H$
3)elemento inverso: $(x,y)'=(x', y' ) = (-x,-y) !in H$
Infatti
$(x,y)*(-x,-y)!=1$
Posso concludere che $H$ non é un sottogruppo di $Z^2$.
Vi chiedo se va tutto bene. Grazie
Risposte
In realtà il problema è proprio l'elemento neutro di $\mathbb{Z}^2$ che non sta in $H$.
Infatti \( (0,0)\notin H \) perché \( 0+0\ne1 \)
Quindi non è un sottogruppo
Infatti \( (0,0)\notin H \) perché \( 0+0\ne1 \)
Quindi non è un sottogruppo
Grazie intanto Davi90.
É come dici tu $(0,0)!in H$
A questa conclusione ci volevo arrivare con l'associativitá:
2)Devo verificare che $(x,y)⋅(t,z)=1⋅(t,z)∈H$
In base alla definizione:
$(x+y)+(t+z)=1+(t+z)⇒x+y+t+z=1+t+z∉H$
Cioé $ 1+t+z = 2!=1$
É giusto il ragionamento?
É come dici tu $(0,0)!in H$
A questa conclusione ci volevo arrivare con l'associativitá:
2)Devo verificare che $(x,y)⋅(t,z)=1⋅(t,z)∈H$
In base alla definizione:
$(x+y)+(t+z)=1+(t+z)⇒x+y+t+z=1+t+z∉H$
Cioé $ 1+t+z = 2!=1$
É giusto il ragionamento?
Per dimostrare che $H$ è un sottogruppo di $\mathbb{Z}^2$ dovresti provare che
1.L'elemento neutro $(0,0)$ di $\mathbb{Z}^2$ sta in H;
2.per ogni elemento $(x,y), (z,t)\in H$, $(x,y)+(z,t)\in H$;
3.ogni elemento $(x,y)\in H$ ha l'opposto in $H$ (in questo caso hai l'opposto perché $\mathbb{Z}^2$ è un gruppo con la somma usuale)
L'associatività è una proprietà che H eredita grazie al fatto di essere sottoinsieme di un gruppo. Quindi non va provata.
Nel tuo caso sai già che la 1. è falsa e quindi puoi concludere che H non è sottogruppo. Qualora volessi vedere se la 2. o la 3. sono false allora basta trovare un controesempio.
Ad esempio la 2. è falsa perché (1,0),(0,1) stanno in H perché la somma delle coordinate fa 1 ma la somma (1,0)+(0,1)=(1,1) che non appartiene ad H perché 1+1=2.
La 3 è falsa perché (1,0) sta in H ma il suo opposto (-1,0) non ci sta.
Ovviamente è sufficiente che solo una delle tre condizioni non sia vera
1.L'elemento neutro $(0,0)$ di $\mathbb{Z}^2$ sta in H;
2.per ogni elemento $(x,y), (z,t)\in H$, $(x,y)+(z,t)\in H$;
3.ogni elemento $(x,y)\in H$ ha l'opposto in $H$ (in questo caso hai l'opposto perché $\mathbb{Z}^2$ è un gruppo con la somma usuale)
L'associatività è una proprietà che H eredita grazie al fatto di essere sottoinsieme di un gruppo. Quindi non va provata.
Nel tuo caso sai già che la 1. è falsa e quindi puoi concludere che H non è sottogruppo. Qualora volessi vedere se la 2. o la 3. sono false allora basta trovare un controesempio.
Ad esempio la 2. è falsa perché (1,0),(0,1) stanno in H perché la somma delle coordinate fa 1 ma la somma (1,0)+(0,1)=(1,1) che non appartiene ad H perché 1+1=2.
La 3 è falsa perché (1,0) sta in H ma il suo opposto (-1,0) non ci sta.
Ovviamente è sufficiente che solo una delle tre condizioni non sia vera
Tutto chiaro. Grazie
Se considerassi invece $ H={ (x,y) | x+y=0} $ posso dire che si tratta di un sottogruppo di $Z^2$
Se considerassi invece $ H={ (x,y) | x+y=0} $ posso dire che si tratta di un sottogruppo di $Z^2$
"milos144":
Tutto chiaro. Grazie
Se considerassi invece $ H={ (x,y) | x+y=0} $ posso dire che si tratta di un sottogruppo di $Z^2$
Si certo questo è un sottogruppo di $\mathbb{Z}^2$
Se considero
$H={(x,x)∣x in H} $ anche in questo caso ottengo un sottogruppo di $Z^2$
ma se considero invece $ H={(x,x^2)∣x in H} $ in questo caso no.
Giusto?
$H={(x,x)∣x in H} $ anche in questo caso ottengo un sottogruppo di $Z^2$
ma se considero invece $ H={(x,x^2)∣x in H} $ in questo caso no.
Giusto?
"milos144":
Se considero
$H={(x,x)∣x in H} $ anche in questo caso ottengo un sottogruppo di $Z^2$
ma se considero invece $ H={(x,x^2)∣x in H} $ in questo caso no.
Giusto?
Gli insiemi che hai detto hanno qualche problema di autoreferenzialità
, immagino che la proprietà di H sia di stare in Z^2.Comunque, se fosse così, il primo è un sottogruppo il secondo no....(che proprietà salta?)
La proprietá é per entrambi quella di stare in $Z^2$. Capisco che il secondo non puó essere un sottoinsieme di $Z^2$, ma sinceramente in questo momento non mi viene in mente la proprietá che salta fuori.
sottoinsieme, intendevo sottogruppo. Mi scuso
"milos144":
La proprietá é per entrambi quella di stare in $Z^2$. Capisco che il secondo non puó essere un sottoinsieme di $Z^2$, ma sinceramente in questo momento non mi viene in mente la proprietá che salta fuori.
Prova con la somma....prendi due elementi "abbastanza a caso" di H e fai vedere che la somma non ci sta. E' facile.
Non torna l' associativitá. É questo che intendi, vero?
"milos144":
Non torna l' associativitá. É questo che intendi, vero?
L'associatività dimenticatela!
E' sufficiente far vedere che l'insieme non è chiuso rispetto alla somma. Cioè quello che presi due particolarei elementi di H la loro somma non sta in H....
Mi sono confuso...intendevo proprio quello che dici tu:
$EE$ l'elemento neutro
$EE$ l'inverso
ma non si ha la chiusura rispetto alla somma:
$x in H$, $y in H$ ma $a*b !in H$
$EE$ l'elemento neutro
$EE$ l'inverso
ma non si ha la chiusura rispetto alla somma:
$x in H$, $y in H$ ma $a*b !in H$
Mi scuso $a*b$ intendevo $x*y$
"milos144":
Mi scuso $a*b$ intendevo $x*y$
Non è importante come chiami gli elementi.
Devi però trovare due elementi precisi di H e far vedere che la loro SOMMA non sta in H.
Tutto chiaro. Grazie
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