Sottogruppi
Buonasera, sto studiando per l'esame di aritmetica (pre algebra 1) e ho questo problema:
$G~=ZZ_9 xx ZZ_30$ N° di stg. di ordine 30? N° stg. di ordine 90?
Premessa: parecchie volte con "modulo" intendo ordine.
Per $30$ è facile:
Se ci sono, sono abeliani (banalmente dalla def. di $G$, vale anche per 90) quindi applico il teorema di struttura e scopro che i stg. di ordine $30=2*3*5$ sono tutti ciclici poiché i gruppi saranno isomorfi a prodotti di ciclici e in qualsiasi modo spezzo $30$ i moduli saranno cooprimi (si veda la fattorizzazione di $30$) e quindi isomorfi a $ZZ_30$ che è ciclico.
Quanti sono? Tanti quanti gli elementi di ordine $30$ in $G$ (che sono $32$) diviso (per non contare ripetizioni di gruppi uguali) il numero di elementi di ordine $30$ in un gruppo ciclico di ordine $30$ (sono $\phi(30)$) tot.: $32/8=4$.
Per $90$:
Intanto $90 = 2*3^2*5$ ora secondo me occorre fare due distinzioni: ciclici, non ciclici.
ciclici:
Ci sono elementi di ordine $90$?
Intanto $G~=ZZ_9 xx ZZ_3 xx ZZ_10$ (per il teo. cinese del resto) così è più "comodo" contarli.
$(a,b,c) in ZZ_9 xx ZZ_3 xx ZZ_10$, $c$ deve avere per forza ordine $10$ (quindi $\phi(10)$ modi) e il mcm fra $a$ e $b$ deve essere $9$, posso ottenerlo in $\phi(9)*3$ modi, tot.: $(\phi(10)* \phi(9)*3)/(\phi(90)=\phi(9)*\phi(10)) =3$
non ciclici:
Per il teo. di decomposizione i stg. di ordine $90$ si spezzano in prodotto diretto di ciclici, inoltre, visto che dobbiamo contare i non ciclici, i "moduli" non saranno cooprimi fra loro. A questo punto a me viene in mente (a meno di isomorfismi) solamente $ZZ_3 xx ZZ_30$.
La mie domande (FINALMENTE!!!) sono:
-è giusto?
-esistono metodi più "furbi"?
$G~=ZZ_9 xx ZZ_30$ N° di stg. di ordine 30? N° stg. di ordine 90?
Premessa: parecchie volte con "modulo" intendo ordine.
Per $30$ è facile:
Se ci sono, sono abeliani (banalmente dalla def. di $G$, vale anche per 90) quindi applico il teorema di struttura e scopro che i stg. di ordine $30=2*3*5$ sono tutti ciclici poiché i gruppi saranno isomorfi a prodotti di ciclici e in qualsiasi modo spezzo $30$ i moduli saranno cooprimi (si veda la fattorizzazione di $30$) e quindi isomorfi a $ZZ_30$ che è ciclico.
Quanti sono? Tanti quanti gli elementi di ordine $30$ in $G$ (che sono $32$) diviso (per non contare ripetizioni di gruppi uguali) il numero di elementi di ordine $30$ in un gruppo ciclico di ordine $30$ (sono $\phi(30)$) tot.: $32/8=4$.
Per $90$:
Intanto $90 = 2*3^2*5$ ora secondo me occorre fare due distinzioni: ciclici, non ciclici.
ciclici:
Ci sono elementi di ordine $90$?
Intanto $G~=ZZ_9 xx ZZ_3 xx ZZ_10$ (per il teo. cinese del resto) così è più "comodo" contarli.
$(a,b,c) in ZZ_9 xx ZZ_3 xx ZZ_10$, $c$ deve avere per forza ordine $10$ (quindi $\phi(10)$ modi) e il mcm fra $a$ e $b$ deve essere $9$, posso ottenerlo in $\phi(9)*3$ modi, tot.: $(\phi(10)* \phi(9)*3)/(\phi(90)=\phi(9)*\phi(10)) =3$
non ciclici:
Per il teo. di decomposizione i stg. di ordine $90$ si spezzano in prodotto diretto di ciclici, inoltre, visto che dobbiamo contare i non ciclici, i "moduli" non saranno cooprimi fra loro. A questo punto a me viene in mente (a meno di isomorfismi) solamente $ZZ_3 xx ZZ_30$.
La mie domande (FINALMENTE!!!) sono:
-è giusto?
-esistono metodi più "furbi"?
Risposte
Ogni sottogruppo di $G$ di ordine $30$ oppure $90$ contiene l’unico sottogruppo
di $G$ di ordine $10$. Il numero cercato e' quindi uguale al numero
di sottogruppi di $H=ZZ_9\times ZZ_3$ di ordine rispettivamente $3$ e $9$.
Ogni sottogruppi di ordine $3$ e' contenuto in $\{h\in H:3h=0\}\cong ZZ_3\times ZZ_3$.
Si tratta quindi del numero delle rette in uno spazio vettoriale su $ZZ_3$ di dimensione $2$.
Ce ne sono $3+1=4$.
Ogni sottogruppo di ordine $9$ contiene $3H$. Il loro numero e’ quindi uguale al numero
di sottogruppi di $H$/$3H\cong ZZ_3\times ZZ_3$. Come abbiamo visto sopra, ce ne sono $4$.
di $G$ di ordine $10$. Il numero cercato e' quindi uguale al numero
di sottogruppi di $H=ZZ_9\times ZZ_3$ di ordine rispettivamente $3$ e $9$.
Ogni sottogruppi di ordine $3$ e' contenuto in $\{h\in H:3h=0\}\cong ZZ_3\times ZZ_3$.
Si tratta quindi del numero delle rette in uno spazio vettoriale su $ZZ_3$ di dimensione $2$.
Ce ne sono $3+1=4$.
Ogni sottogruppo di ordine $9$ contiene $3H$. Il loro numero e’ quindi uguale al numero
di sottogruppi di $H$/$3H\cong ZZ_3\times ZZ_3$. Come abbiamo visto sopra, ce ne sono $4$.
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