Sottoanello unitario di un anello unitario

[Rodolfo Medina]

Ciao a tutti.

Possiamo dire - e come possiamo dimostrarlo? - che un sottoanello unitario di un anello unitario $A$ possiede l'unità di $A$?

Grazie di ogni eventuale aiuto.

Rodolfo

[Studente Anonimo]

E' per la stessa definizione di sottoanello unitario. Sottoanello unitario di $A$ significa sottoanello che contiene l'unità di $A$.

Può esistere un sottoanello non unitario (in quanto sottoanello) che è un anello unitario (in quanto anello) con un'unità diversa da quella di $A$, per esempio se $X$ e $Y$ sono due anelli unitari allora $X \times Y$ è un anello unitario che contiene $X \times \{0\}$ (che è un sottoanello non unitario ma in quanto anello è unitario con unità $(1,0)$) e contiene $\{0\} \times Y$ (che è un sottoanello non unitario ma in quanto anello è unitario con unità $(0,1)$) e la cui unità è $(1,1)$.

Insomma, bisogna distinguere tra
sotto-"anello unitario" e
"sotto-anello" unitario.

[Rodolfo Medina]

Grazie, chiarissimo. Un altro esempio in tal senso credo sia il sottoanello banale di un qualunque anello unitario $A$, cioè il singleton costituito dallo zero. Esso è unitario in quanto anello, ma la sua unità, e cioè lo zero appunto, non coincide con l'unità $1$ di $A$.

Rodolfo