Sottoanello.... delucidazione teorema!

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
def. : siano \( A \) un anello rispetto alle operazioni binarie \( + \) e \( * \) e \( B \subseteq A \), ove \( B \neq \emptyset \), dicesi che \( B \) è un sottoanello di \( A \) rispetto alle operazioni binarie \( + \) e \( * \) se \( B \) è un anello rispetto alle operazioni \( + \) e \( * \) .

teor.: siano \( A \) un anello rispetto alle operazioni binarie \( + \) e \( * \) e \( B \subseteq A \), ove \( B \neq \emptyset \), \( B \) è un sottoanello di \( A \) rispetto alle operazioni binarie \( + \) e \( * \) se:
1)\( a - b \in B \) presi un qualunque \( a,b \in B \)
2)\( a * b \in B \) presi un qualunque \( a,b \in B \)

questi sono la definizione e il teorema che mi da il libro, ma nel teorema non riesco a capire la scrittura \( a - b \in B \), cioè è per caso un'abbreaviazione di scrivere \( a + (-b) \in B \)?? O è altro...???

Ringrazio anticipatamente!

Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
penso proprio che è una abbreviazione a come si legge di seguito:

http://math.wikia.com/wiki/Ring

ma non saprei quanto sia affidabile il sito nell'attesa di una conferma da parte di qualcuno del forum!!

Cordiali saluti

[Maci86]

Pensalo come un sottogruppo:
$H≤G Leftrightarrow exists a in H ^^ forall a,b in H, a+(-b) in H$
Nel tuo caso devi vedere che è un sottogruppo per la somma, da qui quella definizione

[garnak.olegovitc1]

Salve Maci86,

"Maci86":Pensalo come un sottogruppo:
$H≤G Leftrightarrow exists a in H ^^ forall a,b in H, a+(-b) in H$
Nel tuo caso devi vedere che è un sottogruppo per la somma, da qui quella definizione

ti ringrazio della risposta... ma perchè $a$ è quantificato sia esistenzialmente che universalmente?

Cordiali saluti

[Maci86]

Non è lo stesso $a$, devi vedere che il tuo sottogruppo non è vuoto, quindi deve esistere un elemento, poi devi vedere la seconda parte

[garnak.olegovitc1]

Maci86,

"Maci86":Non è lo stesso $a$, devi vedere che il tuo sottogruppo non è vuoto, quindi deve esistere un elemento, poi devi vedere la seconda parte

a ok ..... capito!! grazie tanto!!

Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve Maci86,
però ritornando alla questione iniziale, sempre se a questo punto è lecita, la scrittura quindi $a-b$ è un'abbreviazione di $a+(-b)$?
Cordiali saluti

[Maci86]

Certo, in realtà la "differenza" non è che la somma per l'opposto, che per comodità decidiamo di far cadere il più è solo una questione formale.
La stessa frase, in notazione moltiplicativa può essere riscritta così:
$a/b Leftrightarrow a*1/b Leftrightarrow a*b^-1$
In notazione "compositiva":
$a(b^-1) Leftrightarrow a\circ b^-1$

[garnak.olegovitc1]

Salve Maci86,

"Maci86":Certo, in realtà la "differenza" non è che la somma per l'opposto, che per comodità decidiamo di far cadere il più è solo una questione formale.
La stessa frase, in notazione moltiplicativa può essere riscritta così:
$a/b Leftrightarrow a*1/b Leftrightarrow a*b^-1$
In notazione "compositiva":
$a(b^-1) Leftrightarrow a\circ b^-1$

grazie mille..

Cordiali saluti