Sottoanello del campo dei numeri complessi $CC$
Buongiorno.
Considero $(CC, +, cdot )$ campo dei numeri complessi, con
La professoressa ha introdotto $ZZ[sqrtd]:={a+bsqrt(d): a, b in ZZ}$ e ha dimostrato che è un sottoanello di $CC$ in questo modo
$(a+bsqrtd)-(a'+b'sqrtd)=(a-a')+(b-b')sqrtd$
$(a+bsqrtd)(a'+b'sqrtd)=aa'+ab'sqrtd+ba'sqrtd+b\b'd=(aa'+b\b'd)+(ab'+ba')sqrtd$
Mi è chiara la verifica della stabilità rispetto alla somma, ma non la verifica della stabilità rispetto al prodotto. Sembra che abbia applicato la distributività, e non la definizione di prodotto data da "lei".
Io quando devo provare che una certa sottostruttura sia stabile rispetto alla legge indotta, applico la definizione della stessa e non una delle sue proprietà.
Dove sbaglio?
Considero $(CC, +, cdot )$ campo dei numeri complessi, con
$+ \qquad (a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$
$\qquad\qquadcdot \qquad (a+bi)cdot(a'+b'i)=(aa'-b\b')+(ab'+ba')i$
La professoressa ha introdotto $ZZ[sqrtd]:={a+bsqrt(d): a, b in ZZ}$ e ha dimostrato che è un sottoanello di $CC$ in questo modo
$(a+bsqrtd)-(a'+b'sqrtd)=(a-a')+(b-b')sqrtd$
$(a+bsqrtd)(a'+b'sqrtd)=aa'+ab'sqrtd+ba'sqrtd+b\b'd=(aa'+b\b'd)+(ab'+ba')sqrtd$
Mi è chiara la verifica della stabilità rispetto alla somma, ma non la verifica della stabilità rispetto al prodotto. Sembra che abbia applicato la distributività, e non la definizione di prodotto data da "lei".
Io quando devo provare che una certa sottostruttura sia stabile rispetto alla legge indotta, applico la definizione della stessa e non una delle sue proprietà.
Dove sbaglio?
Risposte
Non è chiaro il mio problema?
E' una domanda un po' ambigua perchè non specifichi se $d>0$ o no. Se è $>0$ quello che hai scritto segue in modo formale dalle proprietà di sopra perchè $a\pm b\sqrt{d}$ è reale e nei reali puoi usare la proprietà distributiva. Invece se $d<0$ tecnicamente dovresti omettere il secondo termine dell'ultima espressione che hai scritto, e su questo hai ragione.
Ciao. Non ho precisato $d in ZZ$ tale che non esiste $ m in ZZ : m^2=d$. Se $d<0$ si ha $sqrt d in CC-RR$ altrimenti se a$d>0$ $sqrt d in RR$.
Cosi ti è più chiaro?
Cosi ti è più chiaro?
A me è chiaro, a te?
Ovviamente no 
.
Quello che non mi torna è che quando ho una parte $H ne emptyset$ di un anello $A$ per verificare che risulti essere un sottoanello di $A$ applico la caratterizzazione cioè
$(A,+,cdot)$ anello, $HsubseteqA: H ne emptyset$
Quindi perché per verificare che $H$ è un sottoanello si applica una delle proprietà della legge indotta? Quindi si può anche applicare la commutatività o la associatività?
. "hydro":Si l'operazione di prodotto definita gode della proprietà distributiva.
Se è $ >0 $ quello che hai scritto segue in modo formale dalle proprietà di sopra perchè $ a\pm b\sqrt{d} $ è reale e nei reali puoi usare la proprietà distributiva.
Quello che non mi torna è che quando ho una parte $H ne emptyset$ di un anello $A$ per verificare che risulti essere un sottoanello di $A$ applico la caratterizzazione cioè
$(A,+,cdot)$ anello, $HsubseteqA: H ne emptyset$
$H$ sottoanello di $A$ <=>$ { ( a-b in H\qquad ),( acdotb in H ):} $
Quindi perché per verificare che $H$ è un sottoanello si applica una delle proprietà della legge indotta? Quindi si può anche applicare la commutatività o la associatività?
Nessuno spiraglio?
Se ci fai caso: con \(d>0\) quello è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\), quindi...
Ciao, si per $d>0 to sqrt d in RR$, quindi le coppie $(a+bsqrt d), (a'+b'sqrt d) $ sono elementi di $RR$ per cui si applica l'usuale prodotto di $RR$.
Invece, per $d<0 to sqrt d=sqrt((-1)(-d))=sqrt(-1)sqrt(-d)=sqrt(i^2)sqrt(-d)=isqrt(-d)$ dopodiché con il prodotto definito da lei abbiamo
$ (a+bi)cdot(a'+b'i)=(aa'-b\b'sqrt-dsqrt-d)+(ab'+ba')isqrt-d $
$ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\quad= (aa+b\b'd)+(ab'+ba')sqrt(d).$
dove $sqrt-d in RR $ e quindi si ha $sqrt -d sqrt -d =-d$, e $isqrt-d=sqrtd$ per quello osservato in precedenza.
Cosi può andare bene ?
Invece, per $d<0 to sqrt d=sqrt((-1)(-d))=sqrt(-1)sqrt(-d)=sqrt(i^2)sqrt(-d)=isqrt(-d)$ dopodiché con il prodotto definito da lei abbiamo
$ (a+bi)cdot(a'+b'i)=(aa'-b\b'sqrt-dsqrt-d)+(ab'+ba')isqrt-d $
$ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\quad= (aa+b\b'd)+(ab'+ba')sqrt(d).$
dove $sqrt-d in RR $ e quindi si ha $sqrt -d sqrt -d =-d$, e $isqrt-d=sqrtd$ per quello osservato in precedenza.
Cosi può andare bene ?
Io non vedo errori... 
Grazie . Quindi alla fine in entrambi i casi basta applicare la distributivitá ?
. Quindi alla fine in entrambi i casi basta applicare la distributivitá ?
Essendo un sottoinsieme di un anello, e su questo sottoinsieme usi le operazioni proprie dell'anello: è palese che tu possa utilizzare la proprietà distributiva che involve tali operazioni. Giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo