Sottoanelli e ideali di matrici quadrate

[Gatto891]

Riporto tutto l'esercizio, nel caso qualcun altro abbia voglia di farselo

Sia [tex]{\mathcal A} = \{ \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
0 & c
\end{array} \right) \: t.c. \: a,b,c \in \mathbb{Z} \}[/tex]

1) Si dimostri che [tex]{\mathcal A}[/tex] è un sottoanello di [tex]M_2(\mathbb{Z})[/tex].

Dato [tex]n \geq 2[/tex] e [tex]{\mathcal I} = \{ \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
0 & c
\end{array} \right) \: t.c. \: a,b,c \in n\mathbb{Z} \}[/tex],

2) Dimostrare che [tex]\mathcal I[/tex] è un ideale bilatero di [tex]\mathcal A[/tex].

3) Trovare un omomorfismo di anelli [tex]\displaystyle \phi : \mathcal A \longrightarrow \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}[/tex] tale che [tex]Ker(\phi) = \mathcal I[/tex]

4) Descrivere gli ideali di [tex]\displaystyle \frac{\mathcal A}{\mathcal I}[/tex]


Ora, i punti (1) e (2) sono solo conti quindi non c'è niente da aggiungere... riguardo l'esercizio (3), mi è venuto questo dubbio che non riesco a chiarire: se esistesse tale omomorfismo, allora

[tex]\displaystyle \phi : \frac{\mathcal A}{\mathcal I} \longrightarrow Im(\phi)[/tex] dovrebbe essere un isomorfismo... ma [tex]\displaystyle |\frac{\mathcal A}{\mathcal I}|[/tex] non è strettamente maggiore di [tex]|Im(\phi)|[/tex] ?

[Paolo902]

Ciao,

perdona la mia ignoranza, ma come fai a dire

"Gatto89":... ma $|mathcal A//mathcal I|$ non è strettamente maggiore di $|Im (phi)|$?

Grazie.

[Gatto891]

Prendiamo per esempio il caso $n = 2$.

$ZZ/{2ZZ}$ ha soltanto due elementi ($2ZZ$ e $1 + 2ZZ$) e, poichè $im(\phi) \sub ZZ/{2ZZ}$, ha anch'essa al più due elementi.

Invece $A/I$ ha quantomeno $I, ((1, 0),(0, 0)) + I, ((1, 0),(0, 1)) +I$ che sono già 3.

Più in generale, con il crescere di $n$ questa differenza diventa sempre più evidente (a occhio, per $n$ fissato, $ZZ/{nZZ}$ ha $n$ elementi mentre $A/I$ ne ha $n^3$...)

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Infatti come gruppo additivo $A//I$ è isomorfo a $(ZZ//nZZ)^3$. Il punto (3) è formulato male.

[Gatto891]

Grazie

Immaginavo ci fosse un errore di stampa... a questo punto l'isomorfismo è quello "ovvio", $\phi: A \rarr (ZZ/(nZZ))^3$ dove $((a, b),(0, c)) \rarr ([a]_n, _n, [c]_n)$.

E ora per il punto (4) (descrivere gli ideali di $A/I$) mi basterebbe studiare gli ideali di $(ZZ/(nZZ))^3$, però volevo porre un ultimo "dubbio" che avevo: in generale, quando ho il sottoanello generico $B/J$ dove $B$ è un anello e $J$ è un ideale, gli ideali di $B/J$ sono tutti e soli gli ideali di $B$ che contengono $J$ giusto?
Mi sembrava ci avessero detto una cosa simile ma sul libro non ho trovato nulla

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Gatto89":Immaginavo ci fosse un errore di stampa... a questo punto l'isomorfismo è quello "ovvio", $\phi: A \rarr (ZZ/(nZZ))^3$ dove $((a, b),(0, c)) \rarr ([a]_n, _n, [c]_n)$.

No no aspetta: quello che hai detto è un isomorfismo di gruppi additivi, non di anelli. Il prodotto non è rispettato.

in generale, quando ho il sottoanello generico $B/J$ dove $B$ è un anello e $J$ è un ideale, gli ideali di $B/J$ sono tutti e soli gli ideali di $B$ che contengono $J$ giusto?

Sì, il risultato è noto come teorema di corrispondenza per gli ideali.