Sostituzione in equazione
Anche se si tratta di una cosa "elementare" vi prego, non ridete 
Prendiamo un'equazione nelle incognite $a$, $b$, $c$, ad esempio $a=b/c$. Si consideri quindi l'equazione $b=3xy$, nelle incognite $b$, $x$, $y$. Si ottiene $a=(3xy)/c$. Ora, passaggi di questo tipo ne avrò fatti meccanicamente a migliaia, tuttavia mi rendo conto di non essere ben consapevole di cosa ho fatto. Qualcuno può darmi delle dritte?
Forse non esiste domanda più banale sul forum, però io davvero non saprei come giustificare i passaggi che ho scritto; ho applicato delle regole che mi hanno sempre insegnato in modo meccanico e dunque non ne sono consapevole.
Grazie per l'aiuto
Prendiamo un'equazione nelle incognite $a$, $b$, $c$, ad esempio $a=b/c$. Si consideri quindi l'equazione $b=3xy$, nelle incognite $b$, $x$, $y$. Si ottiene $a=(3xy)/c$. Ora, passaggi di questo tipo ne avrò fatti meccanicamente a migliaia, tuttavia mi rendo conto di non essere ben consapevole di cosa ho fatto. Qualcuno può darmi delle dritte?
Forse non esiste domanda più banale sul forum, però io davvero non saprei come giustificare i passaggi che ho scritto; ho applicato delle regole che mi hanno sempre insegnato in modo meccanico e dunque non ne sono consapevole.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Salve lisdap,
, comunque a parte lo scherzo... hai semplicemente applicato gli assiomi dell'uguaglianza con il princio di sostituzione di Von Leibniz; guarda in questi appunti a pg 55 e 56...
Purtroppo in molti corsi di fisica ed ingegneria si considerano noti questi concetti, ma sbagliano a pensare... (pure io all'inizio, quando studiavo le strutture algebriche, dissi al mio docente di algebra "ma secondo quale assioma o principio sostituisco....???" E' lui ha dovuto prolungare la lezione spiegandoci il simbolo dell'uguaglianza)
Cordiali saluti
"lisdap":
Anche se si tratta di una cosa "elementare" vi prego, non ridete
Prendiamo un'equazione nelle incognite $a$, $b$, $c$, ad esempio $a=b/c$. Si consideri quindi l'equazione $b=3xy$, nelle incognite $b$, $x$, $y$. Si ottiene $a=(3xy)/c$. Ora, passaggi di questo tipo ne avrò fatti meccanicamente a migliaia, tuttavia mi rendo conto di non essere ben consapevole di cosa ho fatto. Qualcuno può darmi delle dritte?
Forse non esiste domanda più banale sul forum, però io davvero non saprei come giustificare i passaggi che ho scritto; ho applicato delle regole che mi hanno sempre insegnato in modo meccanico e dunque non ne sono consapevole.
Grazie per l'aiuto
, comunque a parte lo scherzo... hai semplicemente applicato gli assiomi dell'uguaglianza con il princio di sostituzione di Von Leibniz; guarda in questi appunti a pg 55 e 56...Purtroppo in molti corsi di fisica ed ingegneria si considerano noti questi concetti, ma sbagliano a pensare... (pure io all'inizio, quando studiavo le strutture algebriche, dissi al mio docente di algebra "ma secondo quale assioma o principio sostituisco....???" E' lui ha dovuto prolungare la lezione spiegandoci il simbolo dell'uguaglianza)
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Purtroppo in molti corsi di fisica ed ingegneria si considerano noti questi concetti, ma sbagliano a pensare... (pure all'inizio dissi al mio docente di algebra "ma secondo quale assioma o principio sostituisco....???" E' lui ha dovuto prolungare la lezione spiegandoci il simbolo dell'uguaglianza)
Cordiali saluti
Hai ragionissima garnak, a noi aspiranti ingegneri purtroppo nessuno "ci si fila"
Comunque, ho letto (o almeno ho provato a leggere) gli appunti che mi hai proposto alle pagine che mi hai indicato, ma purtroppo non riesco a comprendere il simbolismo usato
Ciao lisdap,
sei andato a pagina 55 paragrafo 9.3 degli appunti, non è difficile in quel paragrafo il simbolismo.....posso capire la difficoltà nella dimostrazione del principio ma intuitivamente ti basterebbe capire cos'è il principio di Leibniz.... almeno sai il perchè sostituisci, ovvero "per il principio di Leibniz!"....
Saluti garnak.olegovitc
sei andato a pagina 55 paragrafo 9.3 degli appunti, non è difficile in quel paragrafo il simbolismo.....posso capire la difficoltà nella dimostrazione del principio ma intuitivamente ti basterebbe capire cos'è il principio di Leibniz.... almeno sai il perchè sostituisci, ovvero "per il principio di Leibniz!"....
Saluti garnak.olegovitc
A pag 55 il paragrafo è 10.1 "Il teorema di validità".
Ciao lisdap,
hai ragion volevo dire 51 e 52.... pardon
Saluti garnak.olegovitc
"lisdap":
A pag 55 il paragrafo è 10.1 "Il teorema di validità".
hai ragion volevo dire 51 e 52.... pardon
Saluti garnak.olegovitc
Perfetto, ora ci dò uno sguardo e se avrò dei dubbi conto sul tuo aiuto
Ciao garnak, potresti dirmi intanto se quello che scrivo è corretto?
Consideriamo il sistema di due equazioni in due incognite $a+2b=4, 3a+8b=7$. Questo sistema si può anche scrivere equivalentemente come $a=4-2b, 3a+8b=7$. Un noto metodo per trovare le soluzioni del sistema è il "metodo si sostituzione", e consiste nel sostituire all'incognita $a$ della seconda equazione il secondo membro della prima equazione. A questo punto trovare la soluzione del "nuovo" sistema (più facile di quello originale) è molto semplice.
Provo ora a dimostrare quanto detto sopra.
Dato il sistema $a+2b=4, 3a+8b=7$, consideriamo quello equivalente $a=4-2b, 3a+8b=7$ e prendiamone una soluzione $(a',b')$ ($a'$ e $b'$ sono numeri, non più incognite).
Si hanno dunque le due identità $a'=4-2b', 3a'+8b'=7$. Per il principio di sostituzione di Leibniz, se prendo la seconda identità $3a'+8b'=7$ ed al posto di $a'$ ci sostituisco $4-2b'$, continuo ad avere un'identità, cioè $3(4-2b')+8b'=7$.
Consideriamo dunque $a'=4-2b', 3(4-2b')+8b'=7$. Abbiamo allora dimostrato che i numeri $a',b'$ sono soluzione anche del sistema $a=4-2b, 3(4-2b)+8b=7$. Questo sistema è più semplice del precedente, e può essere riscritto come $a=4-2b, 2b=-5$, la cui soluzione è immediata.
In conclusione, per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite $a,b$ basta prendere una delle due equazioni, esplicitarne un'incognita (ad esempio $a$) e sostituire alla $a$ che compare nell'altra equazione il secondo membro dell'equazione in cui compare la $a$ che è stata esplicitata.
Va bene?
Grazie!
Consideriamo il sistema di due equazioni in due incognite $a+2b=4, 3a+8b=7$. Questo sistema si può anche scrivere equivalentemente come $a=4-2b, 3a+8b=7$. Un noto metodo per trovare le soluzioni del sistema è il "metodo si sostituzione", e consiste nel sostituire all'incognita $a$ della seconda equazione il secondo membro della prima equazione. A questo punto trovare la soluzione del "nuovo" sistema (più facile di quello originale) è molto semplice.
Provo ora a dimostrare quanto detto sopra.
Dato il sistema $a+2b=4, 3a+8b=7$, consideriamo quello equivalente $a=4-2b, 3a+8b=7$ e prendiamone una soluzione $(a',b')$ ($a'$ e $b'$ sono numeri, non più incognite).
Si hanno dunque le due identità $a'=4-2b', 3a'+8b'=7$. Per il principio di sostituzione di Leibniz, se prendo la seconda identità $3a'+8b'=7$ ed al posto di $a'$ ci sostituisco $4-2b'$, continuo ad avere un'identità, cioè $3(4-2b')+8b'=7$.
Consideriamo dunque $a'=4-2b', 3(4-2b')+8b'=7$. Abbiamo allora dimostrato che i numeri $a',b'$ sono soluzione anche del sistema $a=4-2b, 3(4-2b)+8b=7$. Questo sistema è più semplice del precedente, e può essere riscritto come $a=4-2b, 2b=-5$, la cui soluzione è immediata.
In conclusione, per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite $a,b$ basta prendere una delle due equazioni, esplicitarne un'incognita (ad esempio $a$) e sostituire alla $a$ che compare nell'altra equazione il secondo membro dell'equazione in cui compare la $a$ che è stata esplicitata.
Va bene?
Grazie!
UP!
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