Somme particolari
Calcolare le seguenti somme:
A)1^2-3^2+5^2-7^2+...-(4n-1)^2
B)2*(1^2)+3*(2^2)+4*(3^2)+...+(n+1)*(n^2)
karl.
A)1^2-3^2+5^2-7^2+...-(4n-1)^2
B)2*(1^2)+3*(2^2)+4*(3^2)+...+(n+1)*(n^2)
karl.
Risposte
In una rozzissima maniera ho concluso che la prima va a -oo e la seconda a +oo. Aspetto la correzione delle cretinate che sto per dire e voglio sapere qual'è la maniera rigorosa di dimostrarlo. Dunque, ecco la mia versione:
per n tendente a +oo -(4n - 1)^2 tende a -oo
-(4n - 1)^2 -(4n+1 - 1)^2 pure va a -oo
(non so perchè ma sento che questo basta, ovviamente sbaglio)
la stessa cosa per la seconda, la serie è divergente:
(n + 1) * (n^2) tende a +oo
Ora voglio la risposta ufficiale!
Keplero,si tratta di somme finite!
(non sono serie... serie)
Complimenti per la chiarissima risposta che hai dato a peppic.
Meglio non si poteva fare.
karl.
Modificato da - karl il 29/01/2004 17:11:14
(non sono serie... serie)
Complimenti per la chiarissima risposta che hai dato a peppic.
Meglio non si poteva fare.
karl.
Modificato da - karl il 29/01/2004 17:11:14
Aspetta un attimo. Così mi mandi in crisi! Vuoi dire che le due cose che hai scritto non sono:
Allora che sono? Mi potresti spiegare che intendi per somme parziali? Che ci si ferma ad un certo n?
Grazie per i tuoi complimenti, li apprezzo moltissimo!
Intendevo dire che si tratta di somme che
si esauriscono con l'ultimo termine che ho scritto
(ci si ferma ad un certo termine,proprio come dici tu).
Come dire ,per fare un esempio,la somma dei primi
n numeri naturali (che e',come sappiamo,n(n+1)/2 dunque finita).
Se vuoi pensarci ancora un po'...
Saluti da karl.
si esauriscono con l'ultimo termine che ho scritto
(ci si ferma ad un certo termine,proprio come dici tu).
Come dire ,per fare un esempio,la somma dei primi
n numeri naturali (che e',come sappiamo,n(n+1)/2 dunque finita).
Se vuoi pensarci ancora un po'...
Saluti da karl.
Non mi trovo con la prima... se la somma è -(4n - 1)^2 lo sviluppo non dovrebbe essere:
1^2 -3^2 -7^2 -11^2?
Ancora non capisco... Aspetterò la risposta!
Forse ho scritto male io,ma -(4n-1)^2
non e' la somma richiesta ma l'ultimo
termine della stessa.
La somma totale e'-8n^2
karl.
non e' la somma richiesta ma l'ultimo
termine della stessa.
La somma totale e'-8n^2
karl.
Concordo silla somma A)
Riguardo alla B) il risultato è
n(n+1)(n+2)(3n+1)/12
Per trovarla ho ragionato così: la somma è un polinomio di 4° grado (visto che le differenze sono di 3° grado) e quindi del tipo
an^4+bn^3+cn^2+d^n+e. Si vede subito che e=0. Sostituendo il risultato per 4 valori di n ho ottenuto un sistemino che risolto mi ha dato i valori dei coefficienti a, b, c, d.
Cavia
Riguardo alla B) il risultato è
n(n+1)(n+2)(3n+1)/12
Per trovarla ho ragionato così: la somma è un polinomio di 4° grado (visto che le differenze sono di 3° grado) e quindi del tipo
an^4+bn^3+cn^2+d^n+e. Si vede subito che e=0. Sostituendo il risultato per 4 valori di n ho ottenuto un sistemino che risolto mi ha dato i valori dei coefficienti a, b, c, d.
Cavia
Il risultato di Cavia e' esatto (anche se
ottenuto un po' laboriosamente).
Un procedimento piu' semplice e' il seguente:
Somma=(1+1)*1^2+(1+2)*2^2+(1+3)*3^2+...+(n+1)*n^2=
1^2+1^3+2^2+2^3+3^2+3^3+....+n^2+n^3=
(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=
n(n+1)(2n+1)/6+[n(n+1)/2]^2^=
n(n+1)(n+2)(3n+1)/12
karl.
ottenuto un po' laboriosamente).
Un procedimento piu' semplice e' il seguente:
Somma=(1+1)*1^2+(1+2)*2^2+(1+3)*3^2+...+(n+1)*n^2=
1^2+1^3+2^2+2^3+3^2+3^3+....+n^2+n^3=
(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=
n(n+1)(2n+1)/6+[n(n+1)/2]^2^=
n(n+1)(n+2)(3n+1)/12
karl.
La semplicità è del tutto illusoria: hai usato la formula per la somma dei primi n quadrati! Di quest'ultima formula esistono infinite dimostrazioni diverse, ma la più spettacolare la trovate su
The Mathematical Intelligencer, 24, 2002
Cavia
The Mathematical Intelligencer, 24, 2002
Cavia
Ho considerato la somma dei quadrati e dei cubi
dei primi N numeri naturali come formule acquisite
al bagaglio minimo di conoscenze che si deve avere
in questo campo.Dimostreresti tu,ad es.,che la derivata
di sin(x) e' cos(x) ogni qual volta ti capitasse di doverla
applicare?.Spero proprio di no!
Dico questo senza ombra di polemica ma solo per esporre le mie
opinioni, nel rispetto massimo per quelle degli altri.
Visitero' con estremo piacere il sito che hai indicato.
Sinceri saluti da karl.
dei primi N numeri naturali come formule acquisite
al bagaglio minimo di conoscenze che si deve avere
in questo campo.Dimostreresti tu,ad es.,che la derivata
di sin(x) e' cos(x) ogni qual volta ti capitasse di doverla
applicare?.Spero proprio di no!
Dico questo senza ombra di polemica ma solo per esporre le mie
opinioni, nel rispetto massimo per quelle degli altri.
Visitero' con estremo piacere il sito che hai indicato.
Sinceri saluti da karl.
Se nel bagaglio minimo includi anche il teorema fondamentale del calcolo delle somme (l'equivalente discreto di quello del calcolo integrale) allora non c'è nemmeno bisogno di risolvere il sistema e la somma si ottiene di colpo!
Teorema: la somma da m a n degli a(i) è data dalla differenza di una primitiva A(i) di a(i) calcolata in n+1 e in m.
Esempio: somma dei primi n numeri
Si tratta di calcolare la somma per i che va da 1 a n degli i.
Una primitiva di i è i fattoriale 2 fratto 2, cioè i(i-1)/2, che calcolata in n+1 fa (n+1)n/2, mentre in 1 fa 0. Risultato (n+1)n/2.
Stessa cosa per il problema che tu hai posto! Si fa di botta!
Il fatto è che io non davo per scontato nel bagaglio di tutti i partecipanti al forum questa conoscenza e ho proposto una soluzione il più possibile elementare! Se invece questa conoscenza è scontata allora il tuo problema era un banale esercizio, del tutto equivalente come difficoltà al calcolo dell'integrale di (x+1)x^2 tra 1 e n e tutti i tuoi calcoli hanno avuto un significato del tutto equivalente a ricercare di nuovo le primitive di x^2 e x^3!!!!
Cavia
Modificato da - cavia il 01/02/2004 23:40:00
Teorema: la somma da m a n degli a(i) è data dalla differenza di una primitiva A(i) di a(i) calcolata in n+1 e in m.
Esempio: somma dei primi n numeri
Si tratta di calcolare la somma per i che va da 1 a n degli i.
Una primitiva di i è i fattoriale 2 fratto 2, cioè i(i-1)/2, che calcolata in n+1 fa (n+1)n/2, mentre in 1 fa 0. Risultato (n+1)n/2.
Stessa cosa per il problema che tu hai posto! Si fa di botta!
Il fatto è che io non davo per scontato nel bagaglio di tutti i partecipanti al forum questa conoscenza e ho proposto una soluzione il più possibile elementare! Se invece questa conoscenza è scontata allora il tuo problema era un banale esercizio, del tutto equivalente come difficoltà al calcolo dell'integrale di (x+1)x^2 tra 1 e n e tutti i tuoi calcoli hanno avuto un significato del tutto equivalente a ricercare di nuovo le primitive di x^2 e x^3!!!!
Cavia
Modificato da - cavia il 01/02/2004 23:40:00
Le somme in questione si ricavano in maniera elementare
partendo da una semplice identita'.Pensa che formule di questo tipo
si trovano in un qualunque testo per licei e si possono tranquillamente studiare in terza (forse persino in seconda).
Il mio post e' sulla sezione "universita'"!.
Saluti da karl.
Modificato da - karl il 02/02/2004 00:45:30
Modificato da - karl il 02/02/2004 12:09:06
partendo da una semplice identita'.Pensa che formule di questo tipo
si trovano in un qualunque testo per licei e si possono tranquillamente studiare in terza (forse persino in seconda).
Il mio post e' sulla sezione "universita'"!.
Saluti da karl.
Modificato da - karl il 02/02/2004 00:45:30
Modificato da - karl il 02/02/2004 12:09:06
Ribadisco: se si danno per note le proprietà delle somme, allora il problema si fa di colpo anche senza conoscere a memoria le formule per le somme dei quadrati e dei cubi. La mia soluzione iniziale non dava per scontato nessuna di queste conoscenze. Se invece si posssono dare per buone (come tu mi insegni) allora c'è una soluzione molto più breve della tua! Con questo ho finito.
Cavia
Cavia
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