Somme ..indiscrete

[Sk_Anonymous]

Calcolare la seguente somma:
$sum_(k=0)^(oo)k(k-1)(k+1)x^k,|x|<1$
Risultato: $(6x^2)/((1-x)^4)$
Ottenuto con i metodi dell'analisi discreta.Francamente
non ho provato a ricavarlo anche per via piu' elementare.
Fate voi.
karl

[_luca.barletta]

Cominciamo col sostituire $x=z^(-1)$, dunque $|z|>1$ e
$sum_(k=0)^(oo)k(k-1)(k+1)z^(-k)$ non è altro che la trasformata Z della sequenza $a_k=k(k-1)(k+1)u(k)=(k^3-k)u(k)$.
Pertanto $A(z)=ccZ{(k^3-k)u(k)}(z)=ccZ{k^3u(k)}(z)-ccZ{ku(k)}(z)$ per la linearità dell'operatore.
$ccZ{ku(k)}(z)=-zd/(dz) 1/(1-z^(-1))=(z^(-1))/(1-z^(-1))^2$ con |z|>1
$ccZ{k^3u(k)}(z)=-zd/(dz) (-zd/(dz) ( -zd/(dz)1/(1-z^(-1))))=(...)=(z^(-1)(z^(-2)+4z^(-1)+1))/(1-z^(-1))^4$ con |z|>1

infine
$ccZ{(k^3-k)u(k)}(z)=(...)=(6z^(-2))/(1-z^(-1))^4$
cioé
$A(x)=(6x^2)/(1-x)^4

[Sk_Anonymous]

Ottimo!
La mia soluzione e' basata sull'uso degli operatori $Delta,E=1+Delta$ che
porta ad una formula valida in molti casi di sommazione.
Giusto per chi fosse interessato ,la riporto:
$sum_(k=0)^(oo)u_kx^k=(u_o)/(1-x) +(xDeltau_o)/((1-x)^2)+(x^2Delta^2u_o)/((1-x)^3)+(x^3Delta^3u_o)/((1-x)^4)+... $
dove $u_k$ e' funzione di k =u(k),$u_o=u(o)$ mentre $Deltau_o,Delta^2u_o,Delta^3u_o,...$
sono le differenze successive di $u_k$ da costruirsi.
Se $u_k$ e' un polinomio allora la serie si arresta ,ottenendo un risultato "chiuso".
E' questo il caso nostro in quanto e' $u_k=k(k-1)(k+1)$ e le differenze $Delta$ ,a
partire da quella di ordine k=4,sono tutte nulle.
karl