Sommatorie - cambio di base

[braian1]

Per un esercizio di Algoritmica negli appunti vedo un cambio di base fatto nel seguente modo:

$\sum_{j=i}^(n-1) ( j-i+1 ) = \sum_{ j=1 }^n-i ( j )$ considerando che j=i->1 , j=i+1->2 ,j=i+2->3 ... j=n-1-> n-i

Qualcuno può spiegami i passaggi please?

[Martino]

Puoi fare così:

$sum_{j=i}^{n-1} (j-i+1) = (k=j-i) = sum_{k=0}^{n-1-i} (k+1) = (h=k+1) = sum_{h=1}^{n-i} h$

[braian1]

Scusa , forse mi sono piegato male, non capisco come si fa ad andare dalla prima sommatoria che ho scritto alla seconda che ho scritto.
Ci sono delle regole per elaborare le sommatorie?
Io ne ho alcune sulla linearità e sulle serie ma non mi pare che mi sevano per capire tale passaggio.

help

[Martino]

Infatti qui:

"Martino":$sum_{j=i}^{n-1} (j-i+1) = (k=j-i) = sum_{k=0}^{n-1-i} (k+1) = (h=k+1) = sum_{h=1}^{n-i} h$

ho fatto i passaggi per passare dalla prima sommatoria alla seconda. Nel primo passaggio ho definito la nuova variabile $k=j-i$, nel secondo ho definito la nuova variabile $h=k+1$.

Non capisco cosa vuoi sapere. Per passare da $sum_{j=i}^{n-1}(j-i+1)$ a $sum_{j=1}^{n-i}j$ basta prendere $j-i+1$ come nuova variabile. Quando $j$ varia da $i$ a $n-1$, la variabile $j-i+1$ varia da $i-i+1=1$ a $n-1-i+1=n-i$, quindi puoi scrivere

$sum_{j=i}^{n-1}(j-i+1) = sum_{j-i+1=1}^{j-i+1=n-i} (j-i+1)$

Ora cambiando nome alla variabile $j-i+1$ (per esempio chiamandola $h$) ottieni

$sum_{j=i}^{n-1}(j-i+1) = sum_{h=1}^{n-i} h$

Questa è esattamente la sommatoria $sum_{j=1}^{n-i} j$ (il fatto che in una compaia $j$ e nell'altra $h$ non altera la somma: quando sommi su un indice, lo puoi chiamare come vuoi).

[braian1]

grazie davvero!!!
ora ho capito i passaggi.