Sommatorie
Come posso vedere (o far vedere) che queste due sommatorie sono "uguali"?
$\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{j} a_{j-h} b_h c_{i-j}$ (1)
$\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{i-j} b_h c_{i-j-h} a_j$ (2)
Come sono entrato in questo incubo? Semplicemente per "tentare" di dimostrare la proprietà associativa del prodotto tra polinomi definito come
$p,q\in\mathbb{K}[x]$ di grado minore o uguale ad n, $p\cdot q = \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^i \(a_j b_{i-j}\)x^i$
ho calcolato "separatamente" i due prodotti (pq)r e p(qr) e sono arrivato alla (1) e (2)...sono equivalenti?
$\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{j} a_{j-h} b_h c_{i-j}$ (1)
$\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^{n} \sum_{h=0}^{i-j} b_h c_{i-j-h} a_j$ (2)
Come sono entrato in questo incubo? Semplicemente per "tentare" di dimostrare la proprietà associativa del prodotto tra polinomi definito come
$p,q\in\mathbb{K}[x]$ di grado minore o uguale ad n, $p\cdot q = \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^i \(a_j b_{i-j}\)x^i$
ho calcolato "separatamente" i due prodotti (pq)r e p(qr) e sono arrivato alla (1) e (2)...sono equivalenti?
Risposte
"A occhio", l'indice \(h\) nella seconda sommatoria dovrebbe variare tra \(0\) ed \(n-j\), o no?
Anche perché altrimenti, per \(i=0\) e \(j>0\) la sommatoria su \(h\) non avrebbe senso.
Se ciò fosse giusto, si potrebbe ragionare come segue.
Innanzitutto facciamo un'inversione delle somme su \(j\) e \(h\):
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{h=0}^n \sum_{j=h}^n a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j}
\]
a questo punto facciamo al sostituzione \(j-h=k\) ossia \(j=h+k\): dato che \(j=h,\ldots, n\) si ha \(k=0,\ldots ,n-h\) e quindi:
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h} a_k\ b_h\ c_{i-h-k}\; ;
\]
ora facciamo una nuova inversione delle sommatorie interne:
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{k=0}^n \sum_{h=0}^{n-k} a_k\ b_h\ c_{i-h-k}\; ,
\]
quindi, rinominando l'indice \(k\) con \(j\), troviamo:
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^{n-j} a_j\ b_h\ c_{i-j-h}\; ,
\]
che mi sembra buona.
Anche perché altrimenti, per \(i=0\) e \(j>0\) la sommatoria su \(h\) non avrebbe senso.
Se ciò fosse giusto, si potrebbe ragionare come segue.
Innanzitutto facciamo un'inversione delle somme su \(j\) e \(h\):
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{h=0}^n \sum_{j=h}^n a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j}
\]
a questo punto facciamo al sostituzione \(j-h=k\) ossia \(j=h+k\): dato che \(j=h,\ldots, n\) si ha \(k=0,\ldots ,n-h\) e quindi:
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h} a_k\ b_h\ c_{i-h-k}\; ;
\]
ora facciamo una nuova inversione delle sommatorie interne:
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{k=0}^n \sum_{h=0}^{n-k} a_k\ b_h\ c_{i-h-k}\; ,
\]
quindi, rinominando l'indice \(k\) con \(j\), troviamo:
\[
\sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_{j-h}\ b_h\ c_{i-j} = \sum_{i=0}^{3n} \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^{n-j} a_j\ b_h\ c_{i-j-h}\; ,
\]
che mi sembra buona.
Che macello 
Non ci sto capendo nulla più nulla!!!
Mi quadra tutto, ma dovrebbe venire i-j (a meno che non ho proprio sbagliato il procedimento. La (1) rappresenta il prodotto $(p\cdot q)r$, mentre la (2) rappresenta il prodotto $p\cdot (qr)$, con
$p=\sum_{i=0}^n a_i x^i$
$q=\sum_{i=0}^n b_i x^i$
$r = \sum_{i=0}^n c_i x^i$.
Provo a ricalcolare la 2.
$p(qr) = \sum_{i=0}^{3n} \[\sum_{j=0}^n a_j (qr)_{i-j}\]$. Finora ho usato la definizione per moltiplicare il polinomio p e il polinomio qr. Con la notazione (qr)_{i-j} ho indicato il coefficiente i-j del prodotto tra p e q. Ora uso la definizione per calcolarmi quant'è (qr)_{i-j}.
$(qr)_{i-j}= \sum_{h=0}^{i-j} b_h c_{i-j-h}$
quindi verrebbe proprio la mia 2...a meno che non abbia sbagliato qualcosa...
Non ci sto capendo nulla più nulla!!!Mi quadra tutto, ma dovrebbe venire i-j (a meno che non ho proprio sbagliato il procedimento. La (1) rappresenta il prodotto $(p\cdot q)r$, mentre la (2) rappresenta il prodotto $p\cdot (qr)$, con
$p=\sum_{i=0}^n a_i x^i$
$q=\sum_{i=0}^n b_i x^i$
$r = \sum_{i=0}^n c_i x^i$.
Provo a ricalcolare la 2.
$p(qr) = \sum_{i=0}^{3n} \[\sum_{j=0}^n a_j (qr)_{i-j}\]$. Finora ho usato la definizione per moltiplicare il polinomio p e il polinomio qr. Con la notazione (qr)_{i-j} ho indicato il coefficiente i-j del prodotto tra p e q. Ora uso la definizione per calcolarmi quant'è (qr)_{i-j}.
$(qr)_{i-j}= \sum_{h=0}^{i-j} b_h c_{i-j-h}$
quindi verrebbe proprio la mia 2...a meno che non abbia sbagliato qualcosa...
Allora, c'è una sommatoria di troppo (quella iniziale su \(i\))...
Chiamiamo \(p=(a_n),\ q=(b_n),\ r=(c_n)\in c_{00}(\mathbb{K})\) i tre polinomi.
Lo \(n\)-esimo coefficiente di \(q\cdot r\) è dato da:
\[
\sum_{h=0}^n b_h\ c_{n-h}\; ;
\]
quindi lo \(n\)-esimo coefficiente di \(p\cdot(q\cdot r)\) è:
\[
\tag{1} \sum_{h=0}^n a_h\ \left( \sum_{k=0}^{n-h} b_k\ c_{n-k-h}\right) =\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k}\; ;
\]
In (1) si fa il cambiamento di indice \(j=h+k\) (sicché \(k=j-h\) e \(j=h,\ldots ,n\)) nella sommatoria interna e si ottiene:
\[
\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k} =\sum_{h=0}^n \sum_{j=h}^n a_h\ b_{j-h}\ c_{n-j}\; ;
\]
invertendo le sommatorie al secondo membro:
\[
\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k} = \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_h\ b_{j-h}\ c_{n-j}\; ,
\]
e rinominando gli indici si ottiene:
\[
\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k} = \sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^h a_k\ b_{h-k}\ c_{n-h}\; .
\]
Il secondo membro dell'ultima uguaglianza è proprio lo \(n\)-esimo coefficiente di \((p\cdot q)\cdot r\), giacché:
\[
\sum_{h=0}^n \left( \sum_{k=0}^h a_k\ b_{h-k}\right)\ c_{n-h} =\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^h a_k\ b_{h-k}\ c_{n-h}\; .
\]
Chiamiamo \(p=(a_n),\ q=(b_n),\ r=(c_n)\in c_{00}(\mathbb{K})\) i tre polinomi.
Lo \(n\)-esimo coefficiente di \(q\cdot r\) è dato da:
\[
\sum_{h=0}^n b_h\ c_{n-h}\; ;
\]
quindi lo \(n\)-esimo coefficiente di \(p\cdot(q\cdot r)\) è:
\[
\tag{1} \sum_{h=0}^n a_h\ \left( \sum_{k=0}^{n-h} b_k\ c_{n-k-h}\right) =\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k}\; ;
\]
In (1) si fa il cambiamento di indice \(j=h+k\) (sicché \(k=j-h\) e \(j=h,\ldots ,n\)) nella sommatoria interna e si ottiene:
\[
\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k} =\sum_{h=0}^n \sum_{j=h}^n a_h\ b_{j-h}\ c_{n-j}\; ;
\]
invertendo le sommatorie al secondo membro:
\[
\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k} = \sum_{j=0}^n \sum_{h=0}^j a_h\ b_{j-h}\ c_{n-j}\; ,
\]
e rinominando gli indici si ottiene:
\[
\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^{n-h}a_h\ b_k\ c_{n-h-k} = \sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^h a_k\ b_{h-k}\ c_{n-h}\; .
\]
Il secondo membro dell'ultima uguaglianza è proprio lo \(n\)-esimo coefficiente di \((p\cdot q)\cdot r\), giacché:
\[
\sum_{h=0}^n \left( \sum_{k=0}^h a_k\ b_{h-k}\right)\ c_{n-h} =\sum_{h=0}^n \sum_{k=0}^h a_k\ b_{h-k}\ c_{n-h}\; .
\]
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