Sommatorie
ciao Ragazzi,
qualcuno mi potrebbe spiegare bene i passaggi per la dimostrazione della seguente identità?
non riesco a capirla bene
$sum_(k=1)^nk^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
vi ringrazio,
Stefano
qualcuno mi potrebbe spiegare bene i passaggi per la dimostrazione della seguente identità?
non riesco a capirla bene
$sum_(k=1)^nk^2=(n(n+1)(2n+1))/6$
vi ringrazio,
Stefano
Risposte
Si fa per induzione su $n$. Si verifica con le mani che la formula è vera per $n=1$. La si suppone vera per $n-1$ ($n > 2$), ossia
$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1) n (2n-1)}{6}$
In tal caso
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{(n-1) n (2n-1)}{6} + n^2 = \frac{(n-1) n (2n-1) + 6n^2}{6}$
Per concludere la dimostrazione resta solo da far vedere che $n (n+1) (2n+1) = (n-1) n (2n-1) + 6n^2$.
$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1) n (2n-1)}{6}$
In tal caso
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{(n-1) n (2n-1)}{6} + n^2 = \frac{(n-1) n (2n-1) + 6n^2}{6}$
Per concludere la dimostrazione resta solo da far vedere che $n (n+1) (2n+1) = (n-1) n (2n-1) + 6n^2$.
ti ringrazio per la veloce risposta e ti chiedo perdono in anticipo (sono un lavoratore e sono parecchio arrugginito in matematica. più che arrugginito cadente 
)
il libro di testo su cui sto studiando da come suggerimento per la dimostrazione i seguenti passaggi che a questo punto non riesco a capire come mi facilitino il compito.
te li trasccrivo
Suggerimento:
$sum_(k=0)^n(k+1)^3 = sum_(k=0)^n(k^3+3k^2+3k+1) = sum_(k=1)^nk^3+3sum_(k=1)^nk^2+ ...$
non riesco a capire come mai abbia preferito diminuire l'indice di 1 e aumentare il quadrato a cubo e secondo quali proprietà.
inoltre, attinente ad un altro esercizio, mi sfugge la regola di questo passaggio:
$sum_(k=0)^(n-1)(2k+1)=n^2 $(sempre una dimostrazione di un'identità)
$ sum_(k=1)^n(2k-1)$ Questo passaggio dovrebbe sfruttare una traslazione di indici se non erro
$ = sum_(k=1)^(2n)k - sum_(k=1)^n2i $
vi ringrazio
)il libro di testo su cui sto studiando da come suggerimento per la dimostrazione i seguenti passaggi che a questo punto non riesco a capire come mi facilitino il compito.
te li trasccrivo
Suggerimento:
$sum_(k=0)^n(k+1)^3 = sum_(k=0)^n(k^3+3k^2+3k+1) = sum_(k=1)^nk^3+3sum_(k=1)^nk^2+ ...$
non riesco a capire come mai abbia preferito diminuire l'indice di 1 e aumentare il quadrato a cubo e secondo quali proprietà.
inoltre, attinente ad un altro esercizio, mi sfugge la regola di questo passaggio:
$sum_(k=0)^(n-1)(2k+1)=n^2 $(sempre una dimostrazione di un'identità)
$ sum_(k=1)^n(2k-1)$ Questo passaggio dovrebbe sfruttare una traslazione di indici se non erro
$ = sum_(k=1)^(2n)k - sum_(k=1)^n2i $
vi ringrazio
"marabellis":
Suggerimento:
$sum_(k=0)^n(k+1)^3 = sum_(k=0)^n(k^3+3k^2+3k+1) = sum_(k=1)^nk^3+3sum_(k=1)^nk^2+ ...$
non riesco a capire come mai abbia preferito diminuire l'indice di 1 e aumentare il quadrato a cubo e secondo quali proprietà.
Non è passato da $k^2$ a $(k+1)^3$ secondo una certa regola o proprietà, è una scelta sua partire da $\sum_{k=0}^n (k+1)^3$, detto questo mi spiace, ma non riesco a cogliere il suggerimento...
"marabellis":
inoltre, attinente ad un altro esercizio, mi sfugge la regola di questo passaggio:
$sum_(k=0)^(n-1)(2k+1)=n^2 $(sempre una dimostrazione di un'identità)
Io fare anche questo per induzione, così come il primo. Si dimostra che è vera per $n=1$, si suppone vera per $n-1$, e si fa vedere che in tal caso è vera anche per $n$.
"marabellis":
ti ringrazio per la veloce risposta e ti chiedo perdono in anticipo (sono un lavoratore e sono parecchio arrugginito in matematica. più che arrugginito cadente
il libro di testo su cui sto studiando da come suggerimento per la dimostrazione i seguenti passaggi che a questo punto non riesco a capire come mi facilitino il compito.
te li trasccrivo
Suggerimento:
$sum_(k=0)^n(k+1)^3 = sum_(k=0)^n(k^3+3k^2+3k+1) = sum_(k=1)^nk^3+3sum_(k=1)^nk^2+ ...$ [...]
Il suggerimento lo capisci subito se porti la somma dei cubi dal terzo membro al primo.
Mi spiego meglio: scrivendo tutto per esteso hai:
$sum_(k=0)^n(k+1)^3 = sum_(k=0)^n(k^3+3k^2+3k+1) = sum_(k=1)^n k^3+3sum_(k=1)^n k^2+3\sum_(k=1)^n k+\sum_(k=0)^n1$
(gli indici nelle sommatorie al terzo membro partono da $1$ anziché da $0$ perchè $0^3=0^2=0$, onde i termini che si ottengono per $k=0$ non contribuiscono alla somma); portando la somma $sum_(k=1)^n k^3$ al primo membro hai:
$sum_(k=0)^n(k+1)^3 - sum_(k=1)^n k^3=(n+1)^3$
perchè l'addendo $k$-esimo di $sum_(k=1)^n k^3$ si semplifica con l'addendo $(k-1)$-esimo di $sum_(k=0)^n (k+1)^3$, quindi puoi scrivere:
$(n+1)^3=3sum_(k=1)^n k^2+3\sum_(k=1)^n k+\sum_(k=0)^n1$.
Ora è ovvio che $\sum_(k=0)^n1=n+1$, mentre è nota la formula $\sum_(k=1)^n k=(n*(n+1))/2$, quindi la precedente diventa:
$(n+1)^3=3sum_(k=1)^n k^2+3/2n*(n+1)+(n+1)$...
Il resto sono passaggi algebrici da controllare.
Questo è un classico problema di aritmetica..
Se uno suppone che la somma
$sum_(k=1)^n k^2$
si possa scrivere in forma polinomiale, si ha:
$sum_(k=1)^n k^2 = a n^3 + b n^2 + c n$
a questo punto non resta che determinare i coefficienti $a,b$ e $c$;
come fare? Semplice, basta vedere che somme si ottengono con
tre valori diversi di $n$:
$n=1$ $sum_(k=1)^1 k^2 = 1$ da cui: $a+b+c=1$
$n=2$ $sum_(k=1)^2 k^2 = 1+4=5$ da cui: $a cdot 2^3 + b cdot 2^2 + c cdot 2 = 5$
$n=3$ $sum_(k=1)^3 k^2 = 1+4+9=14$ da cui: $a cdot 3^3 + b cdot 3^2 + c cdot 3 = 14$
risolvendo il sistema si trova $a=1/3$, $b=1/2$, $c=1/6$.
Se fai i calcoli trovi che:
$1/3 n^3 + 1/2 n^2 + 1/6 n = (n (n+1) (2n+1))/6$.
Se uno suppone che la somma
$sum_(k=1)^n k^2$
si possa scrivere in forma polinomiale, si ha:
$sum_(k=1)^n k^2 = a n^3 + b n^2 + c n$
a questo punto non resta che determinare i coefficienti $a,b$ e $c$;
come fare? Semplice, basta vedere che somme si ottengono con
tre valori diversi di $n$:
$n=1$ $sum_(k=1)^1 k^2 = 1$ da cui: $a+b+c=1$
$n=2$ $sum_(k=1)^2 k^2 = 1+4=5$ da cui: $a cdot 2^3 + b cdot 2^2 + c cdot 2 = 5$
$n=3$ $sum_(k=1)^3 k^2 = 1+4+9=14$ da cui: $a cdot 3^3 + b cdot 3^2 + c cdot 3 = 14$
risolvendo il sistema si trova $a=1/3$, $b=1/2$, $c=1/6$.
Se fai i calcoli trovi che:
$1/3 n^3 + 1/2 n^2 + 1/6 n = (n (n+1) (2n+1))/6$.
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