Sommatoria e principio di induzione
Rivedendo il principio di induzione e la sua applicazione,stavo pensando ad una cosa..
$1+2+3+....+n=(n(n+1))/2$ e
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=((n(n+1))/2)^2$. Per caso,tale formula si può generalizzare? Ovvero:
$1^(2k+1)+2^(2k+1)+3^(2k+1)+....+n^(2k+1)=((n(n+1))/2)^(k+1)$ ?
A me sembra di no,ma attendo conferme..
$1+2+3+....+n=(n(n+1))/2$ e
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=((n(n+1))/2)^2$. Per caso,tale formula si può generalizzare? Ovvero:
$1^(2k+1)+2^(2k+1)+3^(2k+1)+....+n^(2k+1)=((n(n+1))/2)^(k+1)$ ?
A me sembra di no,ma attendo conferme..
Risposte
Mi pare che già non vada per $2=k=n$
In ogni caso, il procedimento esiste e non riguarda solo gli esopnenti dispari.
Trascrivo ciò che scrissi tanto tempo fa nell'oliforum, ad una richiesta simile.
Supponiamo di voler trovare una formula in forma chiusa per la somma dei primi $n$ numeri ciascuno elevato al quadrato, ovvero
$\sum_(i=1)^(n)i^2=1^2+2^2+...+n^2$
Valgono le relazioni
$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$
Valgono però anche
$n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1$
$(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)^2+1$
.....
$2^3-1^3=3\cdot1^2+3\cdot1+1$
Sommando membro a membro ottieni
$(n+1)^3-1^3=3\sum_{i=1}^n i^2+3\sum_{i=1}^n i+n$
Ora, se si conosce la somma dei primi n termini (esponente 1), ti ricavi la somma dei quadrati in forma chiusa.
Il fatto è questo: diciamo che tale procedimento è massacrante, perché ogni volta deve essere applicato per trovare la somma delle potenze k-esime per procedere alle potenze k+1-esime, fino ad arrivare ad n.
Ci assicura che, in un tempo, seppur grande, limitato, si giunge alla forma chiusa.
E' più per la valenza formativa, che per la reale formula da trovare.
Ciao!
In ogni caso, il procedimento esiste e non riguarda solo gli esopnenti dispari.
Trascrivo ciò che scrissi tanto tempo fa nell'oliforum, ad una richiesta simile.
Supponiamo di voler trovare una formula in forma chiusa per la somma dei primi $n$ numeri ciascuno elevato al quadrato, ovvero
$\sum_(i=1)^(n)i^2=1^2+2^2+...+n^2$
Valgono le relazioni
$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$
Valgono però anche
$n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1$
$(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)^2+1$
.....
$2^3-1^3=3\cdot1^2+3\cdot1+1$
Sommando membro a membro ottieni
$(n+1)^3-1^3=3\sum_{i=1}^n i^2+3\sum_{i=1}^n i+n$
Ora, se si conosce la somma dei primi n termini (esponente 1), ti ricavi la somma dei quadrati in forma chiusa.
Il fatto è questo: diciamo che tale procedimento è massacrante, perché ogni volta deve essere applicato per trovare la somma delle potenze k-esime per procedere alle potenze k+1-esime, fino ad arrivare ad n.
Ci assicura che, in un tempo, seppur grande, limitato, si giunge alla forma chiusa.
E' più per la valenza formativa, che per la reale formula da trovare.
Ciao!
ah ok..in effetti mi sembrava anche a me facendo i calcoli che non valeva per $1^5+2^5....$.. Però mi sembrava strana questa analogia tra la somma di numeri ad esponente dispari, e pensavo potesse esistere una formula generale del tipo $((n(n+1))/2)^k$! Grazie steven
Sì sì, anche io mi soffermai sulla similitudine nella forma.
Prego, buon proseguimento!
Ciao.
Prego, buon proseguimento!
Ciao.
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