Sommatoria con quadrati

[texas971]

Salve a tutti
qualcuno può per favore aiutarmi a calcolare questa sommatoria?

[tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{k}2n^2+n[/tex]

So che se proviamo ad inserire dei numeri es..1,2,3 al posto di n la sommatoria produce una serie di numeri che all'apparenza non hanno nessuna relazione l'uno con l'altro.
Non è una progressione,nè una serie geometrica,viene infatti qualcosa del tipo:3+10+21+36+55...
come la risolvereste voi?

Grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Osserva che la tua sommatoria è uguale a [tex]2 \cdot (\sum_{n=1}^k n^2) + \sum_{n=1}^k n[/tex].

Quindi si tratta di calcolare [tex]\sum_{n=1}^k n^2[/tex] e [tex]\sum_{n=1}^k n[/tex].

Ti mostro un procedimento per calcolare [tex]\sum_{k=1}^n n[/tex]. L'idea è partire dall'uguaglianza ovvia [tex](k+1)^2-1 = \sum_{n=1}^k (n+1)^2 - \sum_{n=1}^k n^2[/tex]. Hai che

[tex](k+1)^2-1 = \sum_{n=1}^k (n+1)^2 - \sum_{n=1}^k n^2 =[/tex]
[tex]= \sum_{n=1}^k ((n+1)^2-n^2) = \sum_{n=1}^k (2n+1) =[/tex]
[tex]= 2 \cdot (\sum_{n=1}^k n) + \sum_{n=1}^k 1 = 2 \cdot (\sum_{n=1}^k n) +k[/tex].

Ne segue che [tex]\sum_{n=1}^k n = \frac{1}{2} ((k+1)^2-1-k)[/tex].

Ora prova tu a calcolare [tex]\sum_{n=1}^k n^2[/tex]. Parti dall'uguaglianza ovvia [tex](k+1)^3-1 = \sum_{n=1}^k (n+1)^3 - \sum_{n=1}^k n^3[/tex] e procedi come ho fatto io.

[texas971]

Sapendo che [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] allora la formula diventerà[tex]2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}[/tex],che è il risultato.

Grazie mille.