Sommatoria complicata da risolvere algebricamente
Ciao a tutti,
data una costante $V $ intera e positiva, e una sequenza di valori noti $p_1 ... p_{V^2}$ compresi tra 0 e 1, ho bisogno di calcolare il risultato della seguente sommatoria discreta:
$\sum_{s=1}^{2^{v^2}} \{ \prod_{i=1}^{V^2} [ \lfloor \frac{s}{2^i} \rfloor Mod2 (2 p_i- 1) - p_i + 1 ] \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} [ \lfloor \frac{s}{2^{1+iV}} \rfloor Mod2 \lfloor \frac{s}{2^{4V+j}} \rfloor Mod2 \lfloor \frac{s}{2^{i+jV}} \rfloor Mod2 ] \}
$
Come potete vedere la sommatoria iniziale contiene un numero esponenziale di termini (rispetto a $V$) e questo rende la risoluzione del problema impossibile utilizzando il calcolo numero (ovvero il PC!). Mi chiedevo se esiste un modo algebrico per tentare di risolvere il problema, o comunque se è possibile approssimare il valore finale.
Ho provato a percorrere la strada del modulo, sapendo che:
$ x mod y = x - y \lfloor \frac{x}{y}\rfloor$
Ma non ne sono uscito
Se avete qualche consiglio su qualcosa che potrebbe aiutarmi, ve ne sarei grato!
data una costante $V $ intera e positiva, e una sequenza di valori noti $p_1 ... p_{V^2}$ compresi tra 0 e 1, ho bisogno di calcolare il risultato della seguente sommatoria discreta:
$\sum_{s=1}^{2^{v^2}} \{ \prod_{i=1}^{V^2} [ \lfloor \frac{s}{2^i} \rfloor Mod2 (2 p_i- 1) - p_i + 1 ] \sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} [ \lfloor \frac{s}{2^{1+iV}} \rfloor Mod2 \lfloor \frac{s}{2^{4V+j}} \rfloor Mod2 \lfloor \frac{s}{2^{i+jV}} \rfloor Mod2 ] \}
$
Come potete vedere la sommatoria iniziale contiene un numero esponenziale di termini (rispetto a $V$) e questo rende la risoluzione del problema impossibile utilizzando il calcolo numero (ovvero il PC!). Mi chiedevo se esiste un modo algebrico per tentare di risolvere il problema, o comunque se è possibile approssimare il valore finale.
Ho provato a percorrere la strada del modulo, sapendo che:
$ x mod y = x - y \lfloor \frac{x}{y}\rfloor$
Ma non ne sono uscito
Se avete qualche consiglio su qualcosa che potrebbe aiutarmi, ve ne sarei grato!
Risposte
Effettivamente l'espressione è poco comprensibile e necessiterebbe di almento una chiarificazione.
Ok provo a spiegare quello che voglio fare "a parole" 
Devo risolvere una sommatoria in $s$ su un insieme di elementi che cresce in maniera esponenziale con un parametro del sistema, pertanto, dato che non posso usare sistemi di risoluzione numerica, devo trovare un espressione analitica.
All'interno della sommatoria sono presenti degli elementi del tipo:
$ a(s,A) = \lfloor \frac{s}{2^A} \rfloor Mod2 $
che praticamente valgono 0 od 1 a seconda del valore di $s$ e di un peridodo A. In altre parole $a(s,A)$ sarà per $A$ volte 0, poi per $A$ volte 1, poi per $A$ volte 0 e cosi' via. Il range dei valori che puo' assumere è binario.
Per chi vuole è possibile levare da mezzo il floor, ed utilizzare unicamente i moduli sapendo che $ x mod y = x - y \lfloor \frac{x}{y}\rfloor$.
E' anche possibile non considerare la produttoria iniziale se si dimostra che ha un numero di fattori che non cresce esponenzialmente con $V^2$. In questo caso si può dividere la sommatoria in più pezzi e risolverne (analiticamente) uno alla volta.
Il problema base è che non so' su quale terreno mi conviene muovermi per risolvere l'espressione, per esempio non so' se l'introduzione dei moduli mi semplifichi la vita (grazie a qualche proprieta' che riesco a sfruttare) o me la complichi e basta. Nel secondo caso, mi chiedo come rappresentare quegli elementi discreti $a(s,A)$ in modo che possa poi "chiudere" la sommatoria.
Lorenzo
Devo risolvere una sommatoria in $s$ su un insieme di elementi che cresce in maniera esponenziale con un parametro del sistema, pertanto, dato che non posso usare sistemi di risoluzione numerica, devo trovare un espressione analitica.
All'interno della sommatoria sono presenti degli elementi del tipo:
$ a(s,A) = \lfloor \frac{s}{2^A} \rfloor Mod2 $
che praticamente valgono 0 od 1 a seconda del valore di $s$ e di un peridodo A. In altre parole $a(s,A)$ sarà per $A$ volte 0, poi per $A$ volte 1, poi per $A$ volte 0 e cosi' via. Il range dei valori che puo' assumere è binario.
Per chi vuole è possibile levare da mezzo il floor, ed utilizzare unicamente i moduli sapendo che $ x mod y = x - y \lfloor \frac{x}{y}\rfloor$.
E' anche possibile non considerare la produttoria iniziale se si dimostra che ha un numero di fattori che non cresce esponenzialmente con $V^2$. In questo caso si può dividere la sommatoria in più pezzi e risolverne (analiticamente) uno alla volta.
Il problema base è che non so' su quale terreno mi conviene muovermi per risolvere l'espressione, per esempio non so' se l'introduzione dei moduli mi semplifichi la vita (grazie a qualche proprieta' che riesco a sfruttare) o me la complichi e basta. Nel secondo caso, mi chiedo come rappresentare quegli elementi discreti $a(s,A)$ in modo che possa poi "chiudere" la sommatoria.
Lorenzo
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