Sommatoria
Ragazzi, mi scuso già in anticipo se la discussione è stata già aperta precedentemente ma sinceramente non l'ho trovata.
Comunque Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questa sommatoria?
$\sum_{k=1}^N k^2$
Comunque Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questa sommatoria?
$\sum_{k=1}^N k^2$
Risposte
Ciao, cosa intendi con "risolvere" la sommatoria? calcolarne il valore?
sei sicuro che sia proprio così il testo. Se non erro questa serie non può che divergere
è da molto che non guardo le serie, ma se non ricordo male perchè sia possibile che una serie
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}[/tex]
converga è necessario (ma non sufficiente) che [tex]\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n} = 0[/tex]
nel tuo caso invece
[tex]\lim_{k\rightarrow \infty} k^{2} = \infty[/tex] quindi la tua serie non può che divergere
sei sicuro che sia proprio così il testo. Se non erro questa serie non può che divergere
è da molto che non guardo le serie, ma se non ricordo male perchè sia possibile che una serie
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}[/tex]
converga è necessario (ma non sufficiente) che [tex]\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n} = 0[/tex]
nel tuo caso invece
[tex]\lim_{k\rightarrow \infty} k^{2} = \infty[/tex] quindi la tua serie non può che divergere
"Summerwind78":
Ciao, cosa intendi con "risolvere" la sommatoria? calcolarne il valore?
sei sicuro che sia proprio così il testo. Se non erro questa serie non può che divergere
è da molto che non guardo le serie, ma se non ricordo male perchè sia possibile che una serie
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}[/tex]
converga è necessario (ma non sufficiente) che [tex]\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n} = 0[/tex]
nel tuo caso invece
[tex]\lim_{k\rightarrow \infty} k^{2} = \infty[/tex] quindi la tua serie non può che divergere
Summer, innanzitutto ti ringrazio, comunque si sono sicurissima che sia così, tra l'altro ne ho anche un altro su cui ragionare con k^3.
Mi sono spiegata male nella domanda e ti chiedo scusa. Più che risolvere dovrei dimostrarla ma non induttivamente dato che al corso di istituzioni matematiche ancora non ci sono arrivati
Ciao!
@ Summerwind78: la richiesta dell'esercizio non è analizzare la serie infinita (che ovviamente come dici tu diverge), ma calcolare il valore, al variare di $N$, della somma fino a $N$.
@ Megistone90: se sappiamo già il risultato da provare, ovvero $\sum_{k=1}^N k^2=\frac{2N^3+3N^2+N}{6}$, è molto semplice: basta usare il principio di induzione (la formula è vera per $N=1$; supponiamola vera per un generico $N$, allora è vera anche per $N+1$). Ma se non hai ancora studiato il principio di induzione lascia stare questa cosa.
Supponiamo invece di non sapere già il risultato da provare. Si può allora procedere così:
$\sum_{k=1}^{N+1} k^3=\sum_{k=0}^N (k+1)^3=\sum_{k=0}^N (k^3+3k^2+3k+1)=\sum_{k=0}^N k^3+3\sum_{k=0}^N k^2+3\sum_{k=0}^N k+\sum_{k=0}^N 1$, quindi, sapendo che $\sum_{k=0}^N k=\frac{N(N+1)}{2}$****,
$(N+1)^3=\sum_{k=1}^{N+1} k^3-\sum_{k=0}^N k^3=3\sum_{k=0}^N k^2+3\frac{N(N+1)}{2}+N+1$, e moltiplicando l'equazione per 2:
$6\sum_{k=0}^N k^2=2N^3+6N^2+6N+2-3N^2-3N-2N-2=2N^3+3N^2+N$, da cui la tesi.
****Questo si prova con un ragionamento del tutto analogo (ma più semplice) a quello svolto sopra, oppure osservando che $1+...+(N-1)+N=N+(N-1)+...+1$, da cui, sommando i due membri addendo per addendo, $(N+1)+...+(N+1)=N(N+1)=2(1+...+(N-1)+N)=2\sum_{k=0}^N k$.
@ Summerwind78: la richiesta dell'esercizio non è analizzare la serie infinita (che ovviamente come dici tu diverge), ma calcolare il valore, al variare di $N$, della somma fino a $N$.
@ Megistone90: se sappiamo già il risultato da provare, ovvero $\sum_{k=1}^N k^2=\frac{2N^3+3N^2+N}{6}$, è molto semplice: basta usare il principio di induzione (la formula è vera per $N=1$; supponiamola vera per un generico $N$, allora è vera anche per $N+1$). Ma se non hai ancora studiato il principio di induzione lascia stare questa cosa.
Supponiamo invece di non sapere già il risultato da provare. Si può allora procedere così:
$\sum_{k=1}^{N+1} k^3=\sum_{k=0}^N (k+1)^3=\sum_{k=0}^N (k^3+3k^2+3k+1)=\sum_{k=0}^N k^3+3\sum_{k=0}^N k^2+3\sum_{k=0}^N k+\sum_{k=0}^N 1$, quindi, sapendo che $\sum_{k=0}^N k=\frac{N(N+1)}{2}$****,
$(N+1)^3=\sum_{k=1}^{N+1} k^3-\sum_{k=0}^N k^3=3\sum_{k=0}^N k^2+3\frac{N(N+1)}{2}+N+1$, e moltiplicando l'equazione per 2:
$6\sum_{k=0}^N k^2=2N^3+6N^2+6N+2-3N^2-3N-2N-2=2N^3+3N^2+N$, da cui la tesi.
****Questo si prova con un ragionamento del tutto analogo (ma più semplice) a quello svolto sopra, oppure osservando che $1+...+(N-1)+N=N+(N-1)+...+1$, da cui, sommando i due membri addendo per addendo, $(N+1)+...+(N+1)=N(N+1)=2(1+...+(N-1)+N)=2\sum_{k=0}^N k$.
Ah può esserti utile anche questo link http://en.wikipedia.org/wiki/Square_pyramidal_number
Dimmi se hai capito
Dimmi se hai capito
"Rattlesnake89":
Ciao!
@ Summerwind78: la richiesta dell'esercizio non è analizzare la serie infinita (che ovviamente come dici tu diverge), ma calcolare il valore, al variare di $N$, della somma fino a $N$.
@ Megistone90: se sappiamo già il risultato da provare, ovvero $\sum_{k=1}^N k^2=\frac{2N^3+3N^2+N}{6}$, è molto semplice: basta usare il principio di induzione (la formula è vera per $N=1$; supponiamola vera per un generico $N$, allora è vera anche per $N+1$). Ma se non hai ancora studiato il principio di induzione lascia stare questa cosa.
Supponiamo invece di non sapere già il risultato da provare. Si può allora procedere così:
$\sum_{k=1}^{N+1} k^3=\sum_{k=0}^N (k+1)^3=\sum_{k=0}^N (k^3+3k^2+3k+1)=\sum_{k=0}^N k^3+3\sum_{k=0}^N k^2+3\sum_{k=0}^N k+\sum_{k=0}^N 1$, quindi, sapendo che $\sum_{k=0}^N k=\frac{N(N+1)}{2}$****,
$(N+1)^3=\sum_{k=1}^{N+1} k^3-\sum_{k=0}^N k^3=3\sum_{k=0}^N k^2+3\frac{N(N+1)}{2}+N+1$, e moltiplicando l'equazione per 2:
$6\sum_{k=0}^N k^2=2N^3+6N^2+6N+2-3N^2-3N-2N-2=2N^3+3N^2+N$, da cui la tesi.
****Questo si prova con un ragionamento del tutto analogo (ma più semplice) a quello svolto sopra, oppure osservando che $1+...+(N-1)+N=N+(N-1)+...+1$, da cui, sommando i due membri addendo per addendo, $(N+1)+...+(N+1)=N(N+1)=2(1+...+(N-1)+N)=2\sum_{k=0}^N k$.
Rattle, con il principio d'induzione c'ero già arrivata.Sono un ex studentessa di informatica convertita a chimica.
Mi serviva un metodo alternativo, grazie mille!
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