Somma diretta di moduli proiettivi è un modulo proiettivo
Definizione: sia R un anello. Un R-modulo destro $P_R$ si dice proiettivo se per ogni omomorfismo suriettivo $f:M_R->N_R$ e per ogni omomorfismo $g:P_R->N_R$ esiste un morfismo $h:P_R->M_R$ tale che $f*h=g$.
Voglio dimostrare che la somma diretta di moduli proiettivi è un modulo proiettivo.
Siano $P_1,P_2$ moduli proiettivi e sia $P=P_1\oplusP_2$.
Sia $f:M->N$ un omomorfismo suriettivo e sia $g:P->N$ un omomorfismo.
Siccome $P_1$ è un modulo proiettivo esiste un morfismo $h_1:P_1->M$ tale che $f*h_1=g_(|P_1)$, analogamente siccome $P_2$ è un modulo proiettivo esiste un morfismo $h_2:P_2->M$ tale che $f*h_2=g_(|P_2)$.
Allora si può definire il morfismo $h:P->M$, $h(p)=h_1(pi_1(p))+h_2(pi_2(p))$, dove $pi_1:P->P_1$ e $pi_2:P->P_2$ sono le proiezioni canoniche.
Si ha che $h$ è un morfismo perchè ottenuto tramite somma e composizione di omomorfismi, inoltre $(f*h)(p)=f(h(p))=f(h_1(pi_1(p))+h_2(pi_2(p)))=f(h_1(pi_1(p)))+f(h_2(pi_2(p)))=g_(|P_1)(pi_1(p))+g_(|P_2)(pi_2(p))=g(pi_1(p))+g(pi_2(p))=g(pi_1(p)+pi_2(p))=g(p)$ $AAp\inP$, dunque $f*h=g$.
Allora $P$ è un modulo proiettivo.
Così facendo ho dimostrato che la somma diretta di un insieme finito di moduli proiettivi (non solo di due) è un modulo proiettivo.
Se però voglio generalizzare questo risultato alla somma diretta di una famiglia arbitraria di moduli proiettivi $\oplus_(lambda\inLambda)P_lambda$ devo definire la funzione $h(p)=\sum_(lambda\inLambda)h_lambda(pi_lambda(p))$ ma a questo punto ho un dubbio: mentre la famiglia di moduli proiettivi di cui considero la somma diretta è arbitraria (ad esempio, potrebbe essere più che numerabile) la sommatoria che uso per definire la funzione $h$ è al più numerabile, giusto? In tal caso la mia dimostrazione "costruttiva" non funzionerebbe.
Voglio dimostrare che la somma diretta di moduli proiettivi è un modulo proiettivo.
Siano $P_1,P_2$ moduli proiettivi e sia $P=P_1\oplusP_2$.
Sia $f:M->N$ un omomorfismo suriettivo e sia $g:P->N$ un omomorfismo.
Siccome $P_1$ è un modulo proiettivo esiste un morfismo $h_1:P_1->M$ tale che $f*h_1=g_(|P_1)$, analogamente siccome $P_2$ è un modulo proiettivo esiste un morfismo $h_2:P_2->M$ tale che $f*h_2=g_(|P_2)$.
Allora si può definire il morfismo $h:P->M$, $h(p)=h_1(pi_1(p))+h_2(pi_2(p))$, dove $pi_1:P->P_1$ e $pi_2:P->P_2$ sono le proiezioni canoniche.
Si ha che $h$ è un morfismo perchè ottenuto tramite somma e composizione di omomorfismi, inoltre $(f*h)(p)=f(h(p))=f(h_1(pi_1(p))+h_2(pi_2(p)))=f(h_1(pi_1(p)))+f(h_2(pi_2(p)))=g_(|P_1)(pi_1(p))+g_(|P_2)(pi_2(p))=g(pi_1(p))+g(pi_2(p))=g(pi_1(p)+pi_2(p))=g(p)$ $AAp\inP$, dunque $f*h=g$.
Allora $P$ è un modulo proiettivo.
Così facendo ho dimostrato che la somma diretta di un insieme finito di moduli proiettivi (non solo di due) è un modulo proiettivo.
Se però voglio generalizzare questo risultato alla somma diretta di una famiglia arbitraria di moduli proiettivi $\oplus_(lambda\inLambda)P_lambda$ devo definire la funzione $h(p)=\sum_(lambda\inLambda)h_lambda(pi_lambda(p))$ ma a questo punto ho un dubbio: mentre la famiglia di moduli proiettivi di cui considero la somma diretta è arbitraria (ad esempio, potrebbe essere più che numerabile) la sommatoria che uso per definire la funzione $h$ è al più numerabile, giusto? In tal caso la mia dimostrazione "costruttiva" non funzionerebbe.
Risposte
Ciao, temo che tutto stia nella definizione di somma diretta di moduli. Da' un'occhiata qua.
Appurato questo, è chiaro che la tua mappa
$ h(p)=\sum_(lambda\inLambda)h_lambda(pi_lambda(p)) $
è ben definita quale che sia la famiglia $Lambda$, poiché la sommatoria è in realtà finita (in quanto tutti i $pi_lambda(p)$ sono nulli salvo un numero finito).
Se sei pratico con i moduli, questa affermazione puoi anche dimostrarla usando le definizioni equivalenti di modulo proiettivo e libero. In particolare, dire che $P_1, P_2$ sono $R$-moduli proiettivi significa dire che sono i sommandi diretti di qualche modulo libero, diciamo con complementari $Q_1, Q_2$. Ma allora a questo punto ti basta far vedere che la somma diretta di liberi è libera, e questo è semplice perchè si sta parlando di basi, vedi ad esempio la risposta di Arturo qui. Spero sia chiaro. Ciao!
Appurato questo, è chiaro che la tua mappa
$ h(p)=\sum_(lambda\inLambda)h_lambda(pi_lambda(p)) $
è ben definita quale che sia la famiglia $Lambda$, poiché la sommatoria è in realtà finita (in quanto tutti i $pi_lambda(p)$ sono nulli salvo un numero finito).
Se sei pratico con i moduli, questa affermazione puoi anche dimostrarla usando le definizioni equivalenti di modulo proiettivo e libero. In particolare, dire che $P_1, P_2$ sono $R$-moduli proiettivi significa dire che sono i sommandi diretti di qualche modulo libero, diciamo con complementari $Q_1, Q_2$. Ma allora a questo punto ti basta far vedere che la somma diretta di liberi è libera, e questo è semplice perchè si sta parlando di basi, vedi ad esempio la risposta di Arturo qui. Spero sia chiaro. Ciao!
Grazie per la risposta!
Sono d'accordo che $pi_lambda(p)!=0$ solo per un numero finito di indici, ma nella sommatoria devo per forza far comparire tutti i $lambda\inLambda$, compresi quelli che valgono $0$, no?
Per chiarire meglio cosa intendo, non posso scrivere la sommatoria $\sum_(x\inRR)0$ perchè pur essendo tutti i termini della sommatoria nulli, essi sono una quantità più che numerabile.
Il fatto che gli indici siano una quantità più che numerabile, indipendentemente dal fatto che i termini siano quasi tutti nulli, non costituisce un problema nella scrittura formale di una sommatoria?
Per quanto riguarda la seconda parte che hai scritto sono d'accordo con te, ma volevo dimostrare questo fatto senza fare uso di definizioni equivalenti (anche perchè non so se il fatto stesso che queste definizioni sono equivalenti si dimostri usando il fatto che la somma di moduli proiettivi è un modulo proiettivo).
Sono d'accordo che $pi_lambda(p)!=0$ solo per un numero finito di indici, ma nella sommatoria devo per forza far comparire tutti i $lambda\inLambda$, compresi quelli che valgono $0$, no?
Per chiarire meglio cosa intendo, non posso scrivere la sommatoria $\sum_(x\inRR)0$ perchè pur essendo tutti i termini della sommatoria nulli, essi sono una quantità più che numerabile.
Il fatto che gli indici siano una quantità più che numerabile, indipendentemente dal fatto che i termini siano quasi tutti nulli, non costituisce un problema nella scrittura formale di una sommatoria?
Per quanto riguarda la seconda parte che hai scritto sono d'accordo con te, ma volevo dimostrare questo fatto senza fare uso di definizioni equivalenti (anche perchè non so se il fatto stesso che queste definizioni sono equivalenti si dimostri usando il fatto che la somma di moduli proiettivi è un modulo proiettivo).
Ok, ho capito il tuo scrupolo. In generale, penso sia d'uso la notazione della somma di insiemi arbitrari di numeri nel contesto in cui è garantito che solo un numero finito di essi sono non nulli, come in questo caso.
Se preferisci, e se devi scrivere l'esercizio in copia impeccabile, puoi scrivere $ h(p):=\sum_(lambda\inLambda_0)h_lambda(pi_lambda(p)) $, con $Lambda_0= \{ \lambda \in Lambda : \pi_{\lambda}(p) \ne 0 \}$, dove ora hai una sommatoria finita.
Esiste anche una definizione per la somma generalizzata ad un numero arbitrario di addendi comunque, se non mi sbaglio.
Se preferisci, e se devi scrivere l'esercizio in copia impeccabile, puoi scrivere $ h(p):=\sum_(lambda\inLambda_0)h_lambda(pi_lambda(p)) $, con $Lambda_0= \{ \lambda \in Lambda : \pi_{\lambda}(p) \ne 0 \}$, dove ora hai una sommatoria finita.
Esiste anche una definizione per la somma generalizzata ad un numero arbitrario di addendi comunque, se non mi sbaglio.
"Steven":
In generale, penso sia d'uso la notazione della somma di insiemi arbitrari di numeri nel contesto in cui è garantito che solo un numero finito di essi sono non nulli, come in questo caso.
Ottimo, allora tutto fila.
"Steven":
Esiste anche una definizione per la somma generalizzata ad un numero arbitrario di addendi comunque, se non mi sbaglio.
Cerchero' del materiale in proposito, grazie ancora!
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