Somma di quadrati
Siano $x_1, x_2, ..., x_n in RR$ tali che $x_1 + x_2 + ... + x_n = bar x$, con $bar x$ fissato.
E' vero che la quantità $x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2$ è minima per $x_1 = x_2 = ... = x_n = bar x/n$?
E' vero che la quantità $x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2$ è minima per $x_1 = x_2 = ... = x_n = bar x/n$?
Risposte
Qualcuno domanda, QM-AM risponde di sì.
Oppure un modo simpatico è usare i moltiplicatori di Lagrange:
$f(x_1,...,x_n)=sum_(i=1)^n x_i^2$
sotto il vincolo
$g(x_1,...,x_n)=sum_(i=1)^n x_i-barx=0$
Lagrangiana:
$Lambda(x_1,...,x_n)=f+lambdag$
$(del Lambda)/(del x_i)=2x_i+lambda=0$ cioè $x_i=-lambda/2$
$(del Lambda)/(del lambda)=sum_(i=1)^n x_i - barx=0$ cioè $bar x = -nlambda/2=nx_i$ per tutti gli $i=1,...,n$
$f(x_1,...,x_n)=sum_(i=1)^n x_i^2$
sotto il vincolo
$g(x_1,...,x_n)=sum_(i=1)^n x_i-barx=0$
Lagrangiana:
$Lambda(x_1,...,x_n)=f+lambdag$
$(del Lambda)/(del x_i)=2x_i+lambda=0$ cioè $x_i=-lambda/2$
$(del Lambda)/(del lambda)=sum_(i=1)^n x_i - barx=0$ cioè $bar x = -nlambda/2=nx_i$ per tutti gli $i=1,...,n$
Se vogliamo un modo carino, è anche questo....
supponiamo che il minimo esista... il che è da dimostrare, visto che l'insieme non è compatto, ma restringendosi ad x positivi.... insomma nn è questa la parte carina...
prendiamo il minimo. Supponiamo ci sono due valori diversi $(x_1,x_2)$-> li rimpiazziamo con $((x_1+x_2)/2,(x_1+x_2)/2)$. E vediamo così che la funzione è diminuita strettamente, visto che imponendo che con i nuovi valori sia minore di quella iniziale si arriva a: $(x_1-x_2)^2>0$, sempre vera se $x_1$ diverso da $x_2$.
Quindi il minimo è fatto da valori uguali...
supponiamo che il minimo esista... il che è da dimostrare, visto che l'insieme non è compatto, ma restringendosi ad x positivi.... insomma nn è questa la parte carina...
prendiamo il minimo. Supponiamo ci sono due valori diversi $(x_1,x_2)$-> li rimpiazziamo con $((x_1+x_2)/2,(x_1+x_2)/2)$. E vediamo così che la funzione è diminuita strettamente, visto che imponendo che con i nuovi valori sia minore di quella iniziale si arriva a: $(x_1-x_2)^2>0$, sempre vera se $x_1$ diverso da $x_2$.
Quindi il minimo è fatto da valori uguali...
Bene, grazie per le conferme 
nn so gli altri, ma io ti ho risposto perchè così, risponerai qualche volta anche ai miei problemi 
"Kroldar":
Siano $x_1, x_2, ..., x_n in RR$ tali che $x_1 + x_2 + ... + x_n = bar x$, con $bar x$ fissato.
E' vero che la quantità $x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2$ è minima per $x_1 = x_2 = ... = x_n = bar x/n$?
Credo che si possa dimostrare a partire dalla disuguaglianza
media aritmetica $\leq$ media quadratica
C'è uguaglianza solo se i valori sono tutti uguali.
@franced: AM-QM sta, appunto, a indicare la disuguaglianza fra le medie aritmetica e quadratica.
@Thomas: la tua strategia ('squeezing principle') è nient'altro che la base di una dimostrazione (fra le altre possibili) della AM-QM.
@luca.barletta: per mera curiosità, cosa ci trovi di estetico nell'uso dei moltiplicatori di Lagrange?!
@Thomas: la tua strategia ('squeezing principle') è nient'altro che la base di una dimostrazione (fra le altre possibili) della AM-QM.
@luca.barletta: per mera curiosità, cosa ci trovi di estetico nell'uso dei moltiplicatori di Lagrange?!
"Gabriel":
@luca.barletta: per mera curiosità, cosa ci trovi di estetico nell'uso dei moltiplicatori di Lagrange?!
Non a caso ho usato il termine simpatico e non bello. Molte volte si sente usare l'aggettivo "simpatico" per descrivere una persona non proprio bella.
"Gabriel":
@franced: AM-QM sta, appunto, a indicare la disuguaglianza fra le medie aritmetica e quadratica.
Ok, non avevo visto.
"luca.barletta":
Non a caso ho usato il termine simpatico e non bello. Molte volte si sente usare l'aggettivo "simpatico" per descrivere una persona non proprio bella.
I see.
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