Somma dei primi n quadrati

[Jack871]

Ciao!

Per esercizio sto cercando di ricavare la formula per il calcolo della somma dei primi $n$ quadrati, ma mi perdo nei calcoli.

Considero la sommatoria:

$ sum_(k = 0)^(n) [ (k+1)^3 - k^3 ] = (n+1)^3 $

$ sum_(k = 0)^(n) [ (k+1)^3 - k^3 ] = sum_(k = 0)^(n) [ 3 k^2 + 3 k + 1 ] = 3 sum_(k = 0)^(n) k^2 + 3 sum_(k = 0)^(n) k + sum_(k = 0)^(n) 1 = 3 P_2(n) + 3 P(n) + (n+1) $

eguagliando i due risultati, ottengo:

$ 3 P_2(n) + 3 P(n) + (n+1) = (n+1)^3 $

dove $P(n)$ è la somma dei primi $n$ numeri naturali, posso quindi usare la nota formula di Gauss:

$ 3 P_2(n) + 3 {n(n+1)}/2 + (n+1) = (n+1)^3 $

$ 3 P_2(n) = (n+1)^3 - 3 {n(n+1)}/2 - (n+1) = (n^3+3n^2+3n+1) - 3/2(n^2+n) - (n+1) $

$ 6 P_2(n) = 2 n^3 + 6 n^2 + 6 n + 2 - 3 n^2 - 3 n - 2 n - 2 = 2 n^3 + 3 n^2 + n $

$ P_2(n) = {2 n^3 + 3 n^2 + n}/6 $

La formula che si trova ad esempio su wikipedia è:

$ P_2(n) = {n(n+1)(2n+1)}/6 $

per verificare se il mio risultato è corretto, risolvo l'espressione al numeratore e la confronto con quella che ho trovato precedentemente:

$ n(n+1)(2n+1) = (n^2+n)(2n+1) = 2n^3 + n^2 + 2n^2 + n = 2n^3 + 3n^2 + n $

sembra corretto, ma se inverto il procedimento non ottengo il risultato sperato:

$ 2n^3 + 3n^2 + n = n(2n^2 + 3n + 1) = n(n+1)(n+1/2) = n(n+1)({2n+1}/2) = 1/2 n(n+1)(2n+1) $

Dove sbaglio?

Grazie mille!!

[laura1232]

il polinomio $a x^2+bx+c$ si scompone in $a(x-x_1)(x-x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono le radici del polinomio. Nel tuo caso $2n^2+3n+1=2(n+1)(n+ 1/2)=(n+1)(2n+1)$

[Jack871]

Giusto: quando $ a != 1 $ va aggiunto come fattore nella scomposizione!

Grazie mille!