Soluzioni intere di un'equazione lineare
Buongiorno a tutti,
sulle mie dispense di matematica discreta, per trovare tutte le soluzioni di $ax+by=c$ leggo:
calcolare $d = MCD(a, b)$ e verificare che d | c ;
trovare una soluzione particolare $(x_0, y_0)$ ;
si puo' usare l’algoritmo euclideo per trovare $m, n \epsilon ZZ$ tali che $am + bn = d$
e, se $c = de$ , avere la soluzione $x_0 = m*e$ $y_0 = n*e$
scrivere la soluzione generale ${ (x_0 + \beta t, y_0 -\alpha t) | t \epsilon ZZ }$ dove $\alpha= a/d$ $\beta = b/d $
per esercizio devo risolvere $6x-15y=12$
e seguendo la procedura ottengo ${(-8 + 2t, 4-5t) | t \epsilon ZZ}$
ma nelle soluzioni vengo corretto: ${(-8 + 5t, -4+2t) | t \epsilon ZZ}$
Potreste spiegarmi dove sbaglio e come comportarmi in questi casi? Sinceramente sto applicando la procedura di risoluzione come un computer, io vorrei anche capire quello che sto facendo!
Grazie.
sulle mie dispense di matematica discreta, per trovare tutte le soluzioni di $ax+by=c$ leggo:
calcolare $d = MCD(a, b)$ e verificare che d | c ;
trovare una soluzione particolare $(x_0, y_0)$ ;
si puo' usare l’algoritmo euclideo per trovare $m, n \epsilon ZZ$ tali che $am + bn = d$
e, se $c = de$ , avere la soluzione $x_0 = m*e$ $y_0 = n*e$
scrivere la soluzione generale ${ (x_0 + \beta t, y_0 -\alpha t) | t \epsilon ZZ }$ dove $\alpha= a/d$ $\beta = b/d $
per esercizio devo risolvere $6x-15y=12$
e seguendo la procedura ottengo ${(-8 + 2t, 4-5t) | t \epsilon ZZ}$
ma nelle soluzioni vengo corretto: ${(-8 + 5t, -4+2t) | t \epsilon ZZ}$
Potreste spiegarmi dove sbaglio e come comportarmi in questi casi? Sinceramente sto applicando la procedura di risoluzione come un computer, io vorrei anche capire quello che sto facendo!
Grazie.
Risposte
Infatti, per capire quello che stai facendo, dovresti scordarti il procedimento generale e cercare di capire caso per caso.
Tu vuoi determinare gli elementi dell'insieme
$A = { (x,y) \in ZZ^2 | 6x - 15y = 12 }$,
cioe' vuoi determinare i punti a coordinate intere della retta di equazione $6x-15y=12$.
Chiaramente puoi dividere la tua equazione per $3$ e ottieni una equazione equivalente, quindi
$A = { (x,y) \in ZZ^2 | 2x - 5y = 4 }$.
$A$ e' non vuoto: questo lo fai trovando una soluzione particolare ad esempio $(2,0)$, oppure scomodando l'identita' di Bezout che si puo' applicare perche' $2$ e $5$ sono primi tra loro.
Ora vogliamo capire quali sono le ascisse dei punti di $A$: $x \in ZZ$ e' un'ascissa di un punto di $A$ se e solo se esiste $y \in ZZ$ tale che $2x-5y=4$ se e solo se esiste $y \in ZZ$ tale che $5y=2x-4$ se e solo se $5|2x-4$ se e solo se $2x \equiv 4 (5)$ se e solo se $x \equiv 2 (5)$.
Ora vogliamo capire quali sono le ordinate dei punti di $A$: analogamente a quanto fatto sopra si puo' provare che $y \in ZZ$ e' un'ordinata di un punto di $A$ se e solo se $y \equiv 0 (2)$.
Questo prova che $A \subseteq {(x,y) \in ZZ^2 | x \equiv 2 (5), y \equiv 0 (2) } = {(2+5t,2u) \in ZZ^2 | t,u \in ZZ }$.
Ma non vale l'uguaglianza, infatti l'insieme a destra e' un reticolo, mentre $A$ e' contenuto in una retta. Quindi nell'insieme a destra c'e' troppa liberta tra i parametri $t,u$, e quindi affinche' il punto $(2+5t,2u)$ appartenga ad $A$ occorre che $2(2+5t)-5 \cdot 2u = 4$ ovvero $t=u$.
Quindi $A = {(2+5t,2t) | t \in ZZ }$.
Tu vuoi determinare gli elementi dell'insieme
$A = { (x,y) \in ZZ^2 | 6x - 15y = 12 }$,
cioe' vuoi determinare i punti a coordinate intere della retta di equazione $6x-15y=12$.
Chiaramente puoi dividere la tua equazione per $3$ e ottieni una equazione equivalente, quindi
$A = { (x,y) \in ZZ^2 | 2x - 5y = 4 }$.
$A$ e' non vuoto: questo lo fai trovando una soluzione particolare ad esempio $(2,0)$, oppure scomodando l'identita' di Bezout che si puo' applicare perche' $2$ e $5$ sono primi tra loro.
Ora vogliamo capire quali sono le ascisse dei punti di $A$: $x \in ZZ$ e' un'ascissa di un punto di $A$ se e solo se esiste $y \in ZZ$ tale che $2x-5y=4$ se e solo se esiste $y \in ZZ$ tale che $5y=2x-4$ se e solo se $5|2x-4$ se e solo se $2x \equiv 4 (5)$ se e solo se $x \equiv 2 (5)$.
Ora vogliamo capire quali sono le ordinate dei punti di $A$: analogamente a quanto fatto sopra si puo' provare che $y \in ZZ$ e' un'ordinata di un punto di $A$ se e solo se $y \equiv 0 (2)$.
Questo prova che $A \subseteq {(x,y) \in ZZ^2 | x \equiv 2 (5), y \equiv 0 (2) } = {(2+5t,2u) \in ZZ^2 | t,u \in ZZ }$.
Ma non vale l'uguaglianza, infatti l'insieme a destra e' un reticolo, mentre $A$ e' contenuto in una retta. Quindi nell'insieme a destra c'e' troppa liberta tra i parametri $t,u$, e quindi affinche' il punto $(2+5t,2u)$ appartenga ad $A$ occorre che $2(2+5t)-5 \cdot 2u = 4$ ovvero $t=u$.
Quindi $A = {(2+5t,2t) | t \in ZZ }$.
"NightKnight":
se e solo se $5|2x-4$ se e solo se $2x \equiv 4 (5)$ se e solo se $x \equiv 2 (5)$.
5 divide 2x-4 se e solo se 2x equivale a 4 moltiplicato 5 ?
Ti chiedo scusa, ma non ho capito il passaggio. Sia ben chiaro che non sei stato tu ad esserti espresso male, ma sono io che non capisco. Grazie.
Ma non hai mai sentito parlare di congruenze? L'espressione "$2x \equiv 4 \ (5)$" si legge "$2x$ congruo a $4$ modulo $5$".
"NightKnight":
Ma non hai mai sentito parlare di congruenze? L'espressione "$2x \equiv 4 \ (5)$" si legge "$2x$ congruo a $4$ modulo $5$".
Perdonami ma l'ho sempre visto scritto:
$2x \equiv 4\ (mod 5)$
bastava riflettere un attimo sul $\equiv$ ... sei stato chiarissimo e mi hai spiegato bene il significato. Grazie.
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