Soluzione di una cubica in progressione aritmetica

[GDLAN1983]

Ho $ x^3 +3x^2 - x - m=0$ .

Si sa che le soluzioni dell'equazione sono in progressione aritmetica. Si deve trovare il valore del parametro m.

Pensavo a trovare le soluzioni in funzione di m applicando Ruffini ma non riesco. Poi applicherei le formule delle progressioni aritmetiche .

[Palliit]

Cosa sai della relazione tra i coefficienti di un'equazione di grado $n$ e le sue soluzioni?

[GDLAN1983]

Mi viene in mente questa cosa:
$ (x-x_1)(x-x_1-d)(x-x_1-2d) = x^3 + 3 x^2 -x - m$

dove $ x_1 e $ SONO RISPETTIVAMENTE IL PRIMO TERMINE DELLA PROGRESSIONE ARITMETICA E LA SUA RAGIONE.

facendo i prodotti ed uguagliando i coefficenti di pari grado della parte sx con quelli di dx ottengo un sistema di 3 equazioni in tre incognite con $x_1 , d , ed m $

che dovrei trovare. puo' andare ?

[Palliit]

In un'equazione :[tex]x^n+b_{n-1} x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}=0[/tex] (normalizzata, cioè col coefficiente del termine di grado $n$ uguale a 1) il coefficiente [tex]b_{n-1}[/tex] è pari all'opposto della somma delle soluzioni. Nel tuo caso le soluzioni sono $x_0$ , $x_0+q$ , $x_0+2q$ ... così ne trovi una. Sapendo una soluzione individui $m$. Sapendo $m$ trovi le altre.

[GDLAN1983]

QUINDI $ 3 =-( 3x_1 + 3d) $ ovvero $ 1 = -x_1 -d$
Mi ricavo $ x_1 =- 1 - d$ ma poi ?

[Palliit]

No, $-3=3x_1+3d$ $\rightarrow $ $x_1+d=-1$.

E $x_1+d$ è una delle soluzioni, la seconda della progressione. Quindi $m$ dev'essere tale che $-1$ sia una soluzione.

[GDLAN1983]

Grazie perfetto.