Soluzione che non capisco
ciao a tutti allora ho questo esercizio determinare il campo di spezzamento di $x^m-1$ su $bbbF_p$ dove $p$ è un primo ed $m$ un intero... adesso la soluzione mi dice che $x^m-1$ sono le radici $m$-esime dell'unità (ok), e quindi il campo di spezzamento sarà $bbbF_{p^n}$ con $n$ il più piccolo intero per cui $m_0$ divide $p^n-1$ dove $m=m_0p^r$.
adesso non capisco perchè proprio $n$ deve soddisfare quella relazione.
qualcuno sa darmi qualche indicazione????
adesso non capisco perchè proprio $n$ deve soddisfare quella relazione.
qualcuno sa darmi qualche indicazione????
Risposte
forse ci sono,.... ditemi che ne pensate:
allora sia $a$ radice $m$-esima dell'unità... allora se scrivo $m=m_0 p^r$ allora $a^m=(a^{p^r})=a^{rm_0}$ in quanto in caratteristica $p$
$a^p=a$ allora ovviamente segue che $rm_0$ divide $p^n -1$ e quindi in particolare $m_0$ divide $p^n -1$ e visto che voglio il campo di spezzamento che è il più piccolo campo in cui il mio polinomio si spezza in fattori lineari deve essere $n$ il più piccolo intero per cui $m_0$ divide $p^n -1$.
che dite??
allora sia $a$ radice $m$-esima dell'unità... allora se scrivo $m=m_0 p^r$ allora $a^m=(a^{p^r})=a^{rm_0}$ in quanto in caratteristica $p$
$a^p=a$ allora ovviamente segue che $rm_0$ divide $p^n -1$ e quindi in particolare $m_0$ divide $p^n -1$ e visto che voglio il campo di spezzamento che è il più piccolo campo in cui il mio polinomio si spezza in fattori lineari deve essere $n$ il più piccolo intero per cui $m_0$ divide $p^n -1$.
che dite??
ovviamente ho detto una c****ta in quanto $a^p=a$ solo se $a$ appartiene ad $bbbF_p$ e non a una sua estensione... quindi non ho capito la soluzione.... chi mi può dare una mano a riguardo per comprendere meglio la soluzione????
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