Sistemi di equazioni congruenziali

[smartmouse]

Per favore mi dite se l'esercizio è svolto correttamente?

[tex]\begin{cases} a \equiv 2(11) & S_1\\ a \equiv 5(7) & S_2\\ a \equiv 1(3) & S_3\end{cases}[/tex]

[tex]2+11k[/tex] è la generica soluzione della prima equazione e la impongo come soluzione della seconda equazione conguenziale:
[tex]S_1 \cap S_2[/tex]

[tex]2+11k \equiv 5(7) \Leftrightarrow -3 + 11k = 7h, h \in Z[/tex]

Trovo k in modo che il primo membro sia un numero multiplo del secondo membro:
[tex]k=6[/tex]

e la sostituisco nell'equazione iniziale:
[tex]a = 2+11k = 2+11 \cdot 6 = 68[/tex]

In questo modo ottengo la soluzione del sistema [tex]S_1 \cap S_2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow S_1 \cap S_2 = [68]_{77} = \{68 + 77k, k \in Z\}[/tex]

Procedo con la terza equazione e la pongo uguale alla soluzione trovata per le prime due:
[tex]S_1 \cap S_2 \cap S_3[/tex]

[tex]68+77k \equiv 1(3) \Leftrightarrow 67 + 77k = 3h, h \in Z[/tex]

Trovo un valore per k in modo che il primo membro dell'equazione sia un numero multiplo del secondo membro:
[tex]k=1[/tex]

e lo sostituisco nell'equazione iniziale:
[tex]a = 68+77k = 68+77 \cdot 1 = 145[/tex]

Ottengo così la soluzione dell'intero sistema:
[tex]\Leftrightarrow S_1 \cap S_2 \cap S_3 = [145]_{231} = \{145 + 231k, k \in Z\}[/tex]

Grazie in anticipo!

[j18eos]

Che sono gli \(\displaystyle S_i\)?

Qualche commento al ragionamento sarebbe gradito!

Basta modificare il messaggio cliccando sull'apposito pulsante.

[smartmouse]

Fatto!

Aspetto una tua conferma, grazie mille!

[j18eos]

Sì è corretto, solo che come trovi \(\displaystyle k\) dovresti scrivere chi sia \(\displaystyle h\) (giusto per completezza);

poi intersecando gli insiemi di soluzioni, ometterei la scrittura della classe di equivalenza, in quanto lì la devi considerare come un insieme in sé e non come un elemento di un altro insieme.