Sistemi di congruenze e minima soluzione positiva
Salve,
ho questo sistema di congruenze lineari composto da:
5x= 1(mod 7)
10x=2(mod 9) (dove = significa congruo)
la traccia dice di trovare le soluzioni del sistema precisando la minima soluzione positiva.
Aiutatemi, vi prego
ho questo sistema di congruenze lineari composto da:
5x= 1(mod 7)
10x=2(mod 9) (dove = significa congruo)
la traccia dice di trovare le soluzioni del sistema precisando la minima soluzione positiva.
Aiutatemi, vi prego
Risposte
Sbaglio o è $x=1/5$? Mi sembra l'unica soluzione possibile 
io ho perso allenamento per soluzioni eleganti e direttamente rispondenti alle richieste standard di algebra modulare.
applicando la definizione di congruenza, e trasformando la prima relazione moltiplicandola per 2, si ha:
$10x-2=14k$
$10x-2=9k$
(risparmio le discussioni su k)
dunque $10x-2$ è multiplo del $m.c.m. (14, 9) = 126$
$10x=126k+2$
dovendo essere x intero, 126k deve essere un numero che termina per 8 (si parlava di soluzioni positive, no?)
dunque k ha la cifra delle unità pari a 3 oppure 8
la minima soluzione si ha per k=3 -> x=50
le soluzioni in generale (positive) sono:
$x=(126*(3+5n)+2)/10 , n in N$. se non è esatto, vi prego di scusarmi e correggermi. se avete da proporre una soluzione più elegante, siete pregati di intervenire. grazie.
ciao.
applicando la definizione di congruenza, e trasformando la prima relazione moltiplicandola per 2, si ha:
$10x-2=14k$
$10x-2=9k$
(risparmio le discussioni su k)
dunque $10x-2$ è multiplo del $m.c.m. (14, 9) = 126$
$10x=126k+2$
dovendo essere x intero, 126k deve essere un numero che termina per 8 (si parlava di soluzioni positive, no?)
dunque k ha la cifra delle unità pari a 3 oppure 8
la minima soluzione si ha per k=3 -> x=50
le soluzioni in generale (positive) sono:
$x=(126*(3+5n)+2)/10 , n in N$. se non è esatto, vi prego di scusarmi e correggermi. se avete da proporre una soluzione più elegante, siete pregati di intervenire. grazie.
ciao.
$10x-2=14k$
$10x-2=9k$
(risparmio le discussioni su k)
Suggerirei intanto di usare due diversi simboli per indicare i parametri che tu hai chiamato $k$, magari uno $k$ e uno $h$, altrimenti sembra che stiamo risolvendo un banale sistema di due equazioni in due incognite.
la minima soluzione si ha per k=3 -> x=50
Sicura?
Sostituendo in
$10x=126k+2$
a me esce $x=38$
Per il resto non so dirti altro, non ne so molto in questo settore.
Ciao.
giusto, è sempre per k=3 che si ottiene x=38 ... più precisamente per n=0)
che cosa avrei moltiplicato?
ciao.
che cosa avrei moltiplicato?
ciao.
Dopo aver ridotto in forma canonica:
${(x-=3(mod7)),(x-=2(mod9)):}$
risolvi con il CRT, ottenendo
$x-=38(mod63)$.
Evidentemente x=38 è la più piccola soluzione positiva.
${(x-=3(mod7)),(x-=2(mod9)):}$
risolvi con il CRT, ottenendo
$x-=38(mod63)$.
Evidentemente x=38 è la più piccola soluzione positiva.
"luca.barletta":
Dopo aver ridotto in forma canonica:
${(x-=3(mod7)),(x-=2(mod9)):}$
risolvi con il CRT, ottenendo
$x-=38(mod63)$.
Evidentemente x=38 è la più piccola soluzione positiva.
scusate...non mi è chiaro come si fa a riportare in forma canonica
La prima:
$5x-=1(mod7)$
devi trovare l'inverso moltiplicativo di 5 mod7, si vede velocemente che questo è 3, infatti $5*3=15-=1(mod7)$. La prima quindi si riduce a
$x-=3(mod7)$.
La seconda:
$10x-=2(mod9)$
si ha che $10x-=x(mod9)-=2$, dunque
$x-=2(mod9)$.
$5x-=1(mod7)$
devi trovare l'inverso moltiplicativo di 5 mod7, si vede velocemente che questo è 3, infatti $5*3=15-=1(mod7)$. La prima quindi si riduce a
$x-=3(mod7)$.
La seconda:
$10x-=2(mod9)$
si ha che $10x-=x(mod9)-=2$, dunque
$x-=2(mod9)$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo