Sistema lineare discreto con uscita periodica

[massimo.851]

Il sistema lineare discreto $sum$ a un ingresso e un'uscita, in corrispondenza all'ingresso impulsivo discreto
$u(t) = 1 $ per $ t=0
$u(t) = 0 $ per $ t!=0
risponde con l'uscita forzata periodica
$0, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, ...
Qual è la funzione di trasferimento di $sum$?

Io ho fatto così:
$Y(z) = z^(-1)-z^(-2)-z^(-3)+...
$U(z) = 1
$W(z) = (z^(-1)+z^(-4)+z^(-7)+...)+(-z^(-2)-z^(-5)-z^(-8)+...)+(-z^(-3)-z^(-6)-z^(-9)+...)=
$=z^(-1)(1+z^(-3)+z^(-6)+...)-z^(-2)(1+z^(-3)+z^(-6)+...)-z^(-3)(1+z^(-3)+z^(-6)+...)=
$=(z^(-1)-z^(-2)-z^(-3))sum_(k=0)^oo(z^(-1))^(3k)=
$=(z^(-1)-z^(-2)-z^(-3))/(1-z^(-3))=(z^2-z-1)/(z^3-1)
Può andare?
Dopodiché avrei altre domande

[_luca.barletta]

"massimo.85":$W(z) = (z^(-1)+z^(-4)+z^(-7)+...)+(-z^(-2)-z^(-5)-z^(-8)+...)+(-z^(-3)-z^(-6)-z^(-9)+...)=$

il segnale in uscita dal sistema è periodico di periodo T=4, quindi direi piuttosto
$W(z) = (z^(-1)+z^(-5)+z^(-9)+...)+(-z^(-2)-z^(-6)-z^(-10)+...)+(-z^(-3)-z^(-7)-z^(-11)+...)=$

prova a continuare su questa strada

[massimo.851]

Vero! Brutta svista la mia! A questo punto mi esce
$W(z)=(z^(-1)-z^(-2)-z^(-3))/(1-z^(-4))=(z^3-z^2-z)/(z^4-1)

[_luca.barletta]

ok

[massimo.851]

A questo punto mi chiede se esiste un ingresso limitato cui corrisponde un'uscita forzata non limitata.
La risposta è sì in quanto il sistema non è BIBO stabile, infatti gli zeri del denominatore (poli di W(z)) hanno modulo unitario e quindi non strettamente minori di 1 in modulo. Giusto?
Mi chiede anche un esempio di siffatto ingresso.
E qui non so proprio cosa inventarmi... Come posso procedere?