Sistema di equazioni lineari esercizio
Risolvere al variare del parametro a \(\displaystyle \in \mathbb{R} \) il SLO(2,2,\(\displaystyle \mathbb{R} \)):
\(\displaystyle 2x+(a+2)y=0 \)
\(\displaystyle (a+1)x+(a^2+2)y=0 \)
deve essere risolto SENZA uso di matrici
Be', visto che omogeneo c'è una soluzione banale x=0 e y=0...però come lo risolvo per trovare altre soluzioni,visto che con il parametro 'a' non sa come interpetrarlo?Mi servirebbe la soluzione passo passo.
\(\displaystyle 2x+(a+2)y=0 \)
\(\displaystyle (a+1)x+(a^2+2)y=0 \)
deve essere risolto SENZA uso di matrici
Be', visto che omogeneo c'è una soluzione banale x=0 e y=0...però come lo risolvo per trovare altre soluzioni,visto che con il parametro 'a' non sa come interpetrarlo?Mi servirebbe la soluzione passo passo.
Risposte
Senza l'uso delle matrici o senza sapere la teoria delle matrici?
Perche' questo sistema, anche se non uso le matrici, un determinante ce l'ha. Calcoliamo quel determinante, che dipendera' da $a$. Per tutti i valori di $a$ per cui il determinante e' non zero, abbiamo una sola soluzione, che e' quella nulla.
Per i valori in cui il determinante e' zero (che saranno cosi' a occhio due soli valori), sostituiamo $a$ e vediamo quali sono le soluzioni non nulle.
Se non vogliamo usare la parola determinante, vediamo prima di tutto cosa succede se $a = -1$. Poi supponiamo $a \ne -1$, e moltiplichiamo la prima equazione per $a+1$ e la seconda equazione per $2$. Sottraiamo la prima dalla seconda, cosi' che la seconda diventi della forma $f(a) y = 0$, dove $f(a)$ e' una funzione di $a$ (che guarda caso sara' proprio il determinante di cui si parlava prima).
Stesso discorso di prima: dove $f$ non e' zero, si puo' avere solo la soluzione nulla. Dove $f$ e' zero, si provano i valori.
Perche' questo sistema, anche se non uso le matrici, un determinante ce l'ha. Calcoliamo quel determinante, che dipendera' da $a$. Per tutti i valori di $a$ per cui il determinante e' non zero, abbiamo una sola soluzione, che e' quella nulla.
Per i valori in cui il determinante e' zero (che saranno cosi' a occhio due soli valori), sostituiamo $a$ e vediamo quali sono le soluzioni non nulle.
Se non vogliamo usare la parola determinante, vediamo prima di tutto cosa succede se $a = -1$. Poi supponiamo $a \ne -1$, e moltiplichiamo la prima equazione per $a+1$ e la seconda equazione per $2$. Sottraiamo la prima dalla seconda, cosi' che la seconda diventi della forma $f(a) y = 0$, dove $f(a)$ e' una funzione di $a$ (che guarda caso sara' proprio il determinante di cui si parlava prima).
Stesso discorso di prima: dove $f$ non e' zero, si puo' avere solo la soluzione nulla. Dove $f$ e' zero, si provano i valori.
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