Sistema di congruenze non prime fra loro...
Salve,
volevo chiedervi come posso risolvere questo sistema congruenze:
X=7 (mod 9)
x=1 (mod 3)
Dove = sta per congruente...
Essendo MCD tra (9,3) = 3 il modulo della soluzione non sarà 27...
Andando avanti con il "mio" metodo risolutivo arrivo a soluzione X=7 (mod 9)
Ma a dir il vero credo di aver sbagliato...
In Ogni caso come mi comporto se i moduli non sono primi fra loro...
Grazie per le risposte!!!
volevo chiedervi come posso risolvere questo sistema congruenze:
X=7 (mod 9)
x=1 (mod 3)
Dove = sta per congruente...
Essendo MCD tra (9,3) = 3 il modulo della soluzione non sarà 27...
Andando avanti con il "mio" metodo risolutivo arrivo a soluzione X=7 (mod 9)
Ma a dir il vero credo di aver sbagliato...
In Ogni caso come mi comporto se i moduli non sono primi fra loro...
Grazie per le risposte!!!
Risposte
Basta osservare questo
$x \equiv 7 \mod 9 \implies x \equiv 7 \mod 3$, perché $3 | 9$
Ma $7 \equiv 1 \mod 3$, quindi $x \equiv 7 \mod 9 \implies x \equiv 1 \mod 3$, di conseguenza tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda.
Invece non tutte le soluzioni della seconda risolvono anche la prima, dato che $4$ risolve la seconda ma non la prima.
Quindi la soluzione del sistema è $7 + 9 \mathbb{Z} = \{7 + 9 \lambda: \lambda \in \mathbb{Z}\}$.
$x \equiv 7 \mod 9 \implies x \equiv 7 \mod 3$, perché $3 | 9$
Ma $7 \equiv 1 \mod 3$, quindi $x \equiv 7 \mod 9 \implies x \equiv 1 \mod 3$, di conseguenza tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda.
Invece non tutte le soluzioni della seconda risolvono anche la prima, dato che $4$ risolve la seconda ma non la prima.
Quindi la soluzione del sistema è $7 + 9 \mathbb{Z} = \{7 + 9 \lambda: \lambda \in \mathbb{Z}\}$.
Se ho ben capito tu vorresti trovare un metodo generale per la soluzione di un sistema del tipo ${(x=a (mod p)),(x=b (mod n)):}$...
In questo caso, visto che è $x=a (mod p) rarr x=a+kp$, il sistema diventa ${(x=a+kp),(x=b+hn):}$, da cui si arriva a
$a+kp=b+hn$. A questo punto ricavo $k=(b-a+hn)/p=(b-a)/p + (hn)/p$, da cui si deduce $hn=(p-b+a) (mod p)$.
A questo punto scegliendo un qualsiasi valore valido di $hn$ (basta scegliere un numero della forma $p-b+a+ m p$ con m intero relativo
qualunque, non è necessario che tale numero sia anche divisibile per $n$, credo), posso ricavare $k$ e di conseguenza $x$...
Applicato al caso da te proposto diventa $3h=6 (mod 9)$, da cui ad esempio $3h=15$ e $k=(15-6)/9=1$, quindi $x=7$. Naturalmente
questa è una soluzione sola tra le infinite possibili... Il tuo risultato è corretto perché $3h=6 (mod 9) rarr 3h=6+9m rarr h=2+3m$
e quindi, andando a sostituire in $k=(3h-6)/9$ ottengo $k=m$...
Anch'io mi sono inventato questo metodo risolutivo... quindi se c'è qualche errore fai finta che non abbia detto nulla...
In questo caso, visto che è $x=a (mod p) rarr x=a+kp$, il sistema diventa ${(x=a+kp),(x=b+hn):}$, da cui si arriva a
$a+kp=b+hn$. A questo punto ricavo $k=(b-a+hn)/p=(b-a)/p + (hn)/p$, da cui si deduce $hn=(p-b+a) (mod p)$.
A questo punto scegliendo un qualsiasi valore valido di $hn$ (basta scegliere un numero della forma $p-b+a+ m p$ con m intero relativo
qualunque, non è necessario che tale numero sia anche divisibile per $n$, credo), posso ricavare $k$ e di conseguenza $x$...
Applicato al caso da te proposto diventa $3h=6 (mod 9)$, da cui ad esempio $3h=15$ e $k=(15-6)/9=1$, quindi $x=7$. Naturalmente
questa è una soluzione sola tra le infinite possibili... Il tuo risultato è corretto perché $3h=6 (mod 9) rarr 3h=6+9m rarr h=2+3m$
e quindi, andando a sostituire in $k=(3h-6)/9$ ottengo $k=m$...
Anch'io mi sono inventato questo metodo risolutivo... quindi se c'è qualche errore fai finta che non abbia detto nulla...
Praticamente la soluzione da me postata è la minima corretta?
Se si credo di aver ben capito queste congruenze che prima erano un mistero...
Se si credo di aver ben capito queste congruenze che prima erano un mistero...
Non so cosa intendi con "la minima corretta", io posso solo dirti che è corretta, cioè che quelle da te individuate sono tutte e sole le soluzioni del sistema.

perfetto! Ragazzi non vi ho ancora ringraziato...
Grazie milleeeeeee
Ultima cosa un sistema di congruenze si può risolvere sempre?
Grazie milleeeeeee
Ultima cosa un sistema di congruenze si può risolvere sempre?
No.
Il sistema
${(x\equiv a\quad\modm),(x\equiv b\quad\modn):}$
può essere risolto solo se $\text{gcd}(m,n)|b-a$
Ciao.
Il sistema
${(x\equiv a\quad\modm),(x\equiv b\quad\modn):}$
può essere risolto solo se $\text{gcd}(m,n)|b-a$
Ciao.
Grazie per la pronta risposta.
Se il sistema avesse tre congruenze posso determinare subito se è risolvibile?
Se il sistema avesse tre congruenze posso determinare subito se è risolvibile?