Sistema di congruenze non prime fra loro...

Michel1
Salve,
volevo chiedervi come posso risolvere questo sistema congruenze:

X=7 (mod 9)
x=1 (mod 3)

Dove = sta per congruente...

Essendo MCD tra (9,3) = 3 il modulo della soluzione non sarà 27...

Andando avanti con il "mio" metodo risolutivo arrivo a soluzione X=7 (mod 9)

Ma a dir il vero credo di aver sbagliato...
In Ogni caso come mi comporto se i moduli non sono primi fra loro...

Grazie per le risposte!!!

Risposte
_Tipper
Basta osservare questo

$x \equiv 7 \mod 9 \implies x \equiv 7 \mod 3$, perché $3 | 9$

Ma $7 \equiv 1 \mod 3$, quindi $x \equiv 7 \mod 9 \implies x \equiv 1 \mod 3$, di conseguenza tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda.

Invece non tutte le soluzioni della seconda risolvono anche la prima, dato che $4$ risolve la seconda ma non la prima.

Quindi la soluzione del sistema è $7 + 9 \mathbb{Z} = \{7 + 9 \lambda: \lambda \in \mathbb{Z}\}$.

maurer
Se ho ben capito tu vorresti trovare un metodo generale per la soluzione di un sistema del tipo ${(x=a (mod p)),(x=b (mod n)):}$...
In questo caso, visto che è $x=a (mod p) rarr x=a+kp$, il sistema diventa ${(x=a+kp),(x=b+hn):}$, da cui si arriva a
$a+kp=b+hn$. A questo punto ricavo $k=(b-a+hn)/p=(b-a)/p + (hn)/p$, da cui si deduce $hn=(p-b+a) (mod p)$.
A questo punto scegliendo un qualsiasi valore valido di $hn$ (basta scegliere un numero della forma $p-b+a+ m p$ con m intero relativo
qualunque, non è necessario che tale numero sia anche divisibile per $n$, credo), posso ricavare $k$ e di conseguenza $x$...

Applicato al caso da te proposto diventa $3h=6 (mod 9)$, da cui ad esempio $3h=15$ e $k=(15-6)/9=1$, quindi $x=7$. Naturalmente
questa è una soluzione sola tra le infinite possibili... Il tuo risultato è corretto perché $3h=6 (mod 9) rarr 3h=6+9m rarr h=2+3m$
e quindi, andando a sostituire in $k=(3h-6)/9$ ottengo $k=m$...

Anch'io mi sono inventato questo metodo risolutivo... quindi se c'è qualche errore fai finta che non abbia detto nulla...

Michel1
Praticamente la soluzione da me postata è la minima corretta?

Se si credo di aver ben capito queste congruenze che prima erano un mistero...

_Tipper
Non so cosa intendi con "la minima corretta", io posso solo dirti che è corretta, cioè che quelle da te individuate sono tutte e sole le soluzioni del sistema. :wink:

Michel1
perfetto! Ragazzi non vi ho ancora ringraziato...

Grazie milleeeeeee

Ultima cosa un sistema di congruenze si può risolvere sempre?

Steven11
No.
Il sistema

${(x\equiv a\quad\modm),(x\equiv b\quad\modn):}$

può essere risolto solo se $\text{gcd}(m,n)|b-a$

Ciao.

Michel1
Grazie per la pronta risposta.

Se il sistema avesse tre congruenze posso determinare subito se è risolvibile?

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