Sistema di Congruenze lineari

[gladior-votailprof]

Ragazzi potreste farmi una gentilezza volevo sapere il risultato del seguente sistema di congruenze:


3x congruo 3 mod5
7x congruo 4 mod4
x congruo 3 mod3


Potreste gentilmente postarmi un procedimento con Eventuale soluzione?
Grazie mille per la vostra disponibilità

[gladior-votailprof]

Scusate il sistema è questo grazie mille

2x congruo 3 mod5
7x congruo 4 mod4
x congruo 1 mod3

[gladior-votailprof]

Vi prego ragzzi aiutatemi ho un esame help help help help

[Steven11]

Ti ricordo che non sono ammessi "up", se non dopo 72 ore dall'ultimo intervento.

Ciò detto, inizierei col farti notare che il secondo è banalmente $7x\equiv0 (mod4)$ ovvero $x\equiv 0 (mod4)$.
La terza già sta là.
La prima la risolvi sapendo che l'inverso di 2 modulo 5 è 3,
o semplicemente vedendo che
$2x\equiv3\equiv8 (mod5)$
$2x\equiv8 (mod5)$ dividendo per 2
$x\equiv4(mod5)$.

Ora puoi procedere con la sostituzione, o con il TCR.

Ciao.

[Lord K]

La via migliore è il Teorema Cinese del Resto.

Abbiamo:

${(x\equiv 1(5)),(x\equiv0(4)),(x\equiv1(3)):}$

Immediatamente si vede che:

$x \equiv 36+40(60) \equiv 76 (60) \equiv 16(60)$

[gladior-votailprof]

A me questo sistema è risultato(xcongruo176(mod60)), scusate sono nuvo del forum quindi nn riesco ad utilizzare le funzioni , se il risultato nn dovrebbe essere questo vi prego di postarmi un soluzione terra terra grazie mille per la vosta pazienza......

[corel_86]

allora gladior prima d iniziare a svolgere questo esercizio bisogna sapere una cosa:

l'inverso moltiplicativo: se per esempio avessimo $5x-= 3 (mod 9)$ l'inverso moltiplicativo è quel numero che moltiplicato per 5 da 1 modulo 9.
Il numero in questione è 2 e risulta $2*5-=3*2 (mod 9)$
cioè
$10x-=6 (mod 9)$ scriviamo questa espressione in questo modo $x+9x -=6 (mod 9)$
dove 9x possiamo semplificarlo perchè è mod 9 e in definitiva si ha

$x-=6(mod 9)$

torniamo all'esercizio abbiamo il seguente sistema:

${(2x-=3(mod 5)),(7x-=4(mod 4)),(x-=1(mod 3)):}$

si puo scrivere in questo modo

${(2x-=3(mod 5)),(3x+4x-=4(mod 4)),(x-=1(mod 3)):}$

${(2x-=3(mod 5)),(3x-=0(mod 4)),(x-=1(mod 3)):}$

troviamo gli inversi moltiplicativi della prima e della seconda

${(3*2x-=3*3(mod 5)),(3*3x-=2*0(mod 4)),(x-=1(mod 3)):}$

${(6x-=9(mod 5)),(9x-=0(mod 4)),(x-=1(mod 3)):}$

scriviamo il sistema in questo modo

${(x+5x-=5+4(mod 5)),(4x+4x+x-=0(mod 4)),(x-=1(mod 3)):}$

semplifichiamo e si ha

${(x-=4(mod 5)),(x-=0(mod 4)),(x-=1(mod 3)):}$

adesso possiamo procedere o per sostituzione o per il Teorema cinese del resto (io lo faccio per sostituzione se vuoi postare il TCR fai pure)

prendiamo l'ultima equazione

$x-=1(mod 3)$ che è uguale $x=1+3k$ e sostituiamo la x alla seconda equazione per trovare k(l'ordine non ha importanza alla fine il risultato è sempre lo stesso)

$x-=0(mod 4)$

$1+3k-=0(mod 4)$

$3k-=-1(mod 4)$

$3k-=3(mod 4)$ troviamo l'inverso moltiplicativo (il 3 deriva dalla somma algebrica tra -1 e 4 che fa appunto 3)

$3*3k-=3*3(mod 4)$

$9k-=9(mod 4)$

cioè

$4k+4k+k-=4+4+1(mod 4)$

$k-=1(mod 4)$

cioè

$k=1+4h$ sostituiamo k all'equazione$x=1+3k$ e si ha

$x=1+3(1+4h)$

$x=1+3+12h$

$x=4+12h$ adesso troviamoci h dalla prima equazione

$x-=4(mod 5)$

$4+12h-=4(mod 5)$

$12h-=0(mod 5)$

$5+5+2h-=0(mod 5)$

$2h-=0(mod 5)$ calcolo inverso moltiplicativo

$3*2h-=3*0(mod 5)$

$6h-=0(mod 5)$

$5h+h-=0(mod 5)$ semplifico e si ha

$h-=0(mod 5)$ cioè

$h=0+5t$ sostituiamo h all'equazione $x=4+12h$ e si ha

$x=4+12(0+5t)$

$x=4+60t$

$x=4+60t$

la soluzione finale del sistema è:

$x-=4 (mod 60)$

spero sia chiaro se hai dubbi dimmi pure

ps le varibili k,h,t sono una mia scelta arbitraria potevano essere qualsiasi altra cosa per es. l,m,n

[gladior-votailprof]

Io posto adesso il mio procedimento vediamo dove sbaglio:
fino alla riduzione c siamo del sistema anche se nn capisco una cosa , l'invero moltiplicativo io lo trovo con l'identità bezout
cioè ad esempio
11x congruo 6 (mod48)
cerchiamo il MCD con euclide tra(48,11)=1=
48=11*4+4
11=4*2+3
4=3*1+1
3=1*3
adesso cerchiamo l'identità di bezout
1=4-3*1
3=11-4*2
4=48-11*4

1=4-3*1=4-(11-4*2)*1=11*(-1)+4*3=11*(-1)+(48-11*4)*3=48*3-11*(-13)=1
Quindi l'inverso in questo caso è (-13)
ho letto in un 'altro post che viene 18.
puoi spiegarmi dove sbaglio......

riprendimo l'esercizio da:

x congruo 4 (mod 5)
x congruo 0 (mod 4)
x congruo 1 (mod 3)


applico il torema cinese del resto
quindi abbiamo

12Y1 congruo 1 (mod 5)
15Y2 congruo 1 (mod 4)
20Y3 congruo 1 (mod 3)

dopo di che applico il teorema di euclide con relativa identità di bezout trovo

(12,5)=1=12*(-2) +5*5
(15,4)=1=15*(-1)+4*4
(20,3)=1=20*(-1)+3*7

qui c siamo ricavati
Y1=-2
Y2=-1
Y3=-1

cerchiamo
x=4 *12*(-2)+0*15*(-1)+1*20*(-1)=-116
quindi tutte le soluzioni sono date da
x=-116+60p per qualsiasi p appartenetne Z
x congruo 56 (mod 60)
se nn riesci a capire di dove prendo i valori guarda i colori.
Dove sbaglio ?
grazie per la vostra disponibilità

[corel_86]

ho commeso un piccolo errore riguardatelo che lo sto correggendo

[corel_86]

comunque fino a $x= -116 + 60p$ è giusto quel 56 come lo hai calcolato?

sicuramente avrai fatto $-116+60$ che non fa $56$ ma $-56$ devi moltiplicare per 2 $60$ che fa 120 e poi lo sottrai a $116$

cosi $x=-116+60(2)=-116+120=4$

quindi in definitiva la soluzione finale è $x-= 4 (mod 60)$

[gladior-votailprof]

Scusami hai dato un occhiata al mio procedmimento?
ho postato altre perplesità, volevo sapere se potevi aiutarmi
ti sembra sbagliato?

[gladior-votailprof]

"corel_86":comunque fino a $x= -116 + 60p$ è giusto quel 56 come lo hai calcolato?

sicuramente avrai fatto $-116+60$ che non fa $56$ ma $-56$ devi moltiplicare per 2 $60$ che fa 120 e poi lo sottrai a $116$

cosi $x=-116+60(2)=-116+120=4$

quindi in definitiva la soluzione finale è $x-= 4 (mod 60)$

Perchè devo moltiplicarlo per 2 il 60

[gladior-votailprof]

scusami puoi spiegarmi perchè devo moltiplicare per due?
forse devo trova il primo valore che moltiplicato 60 mi restituisca una valore positvo come in questo caso?
cosi x=-116+60(2)=-116+120=4
Ti faccio una domanda
ma se ad esempio già il valore che restituiva la somma era positivo nn c'era bisogno di molriplicarlo come ad esmpio
x=-3+7p in questo caso dovevo sottrarre solamente il 7 quindi x congruo 4 (mod7)
oppure
se x=3+7p
x congruo 10 (mod7)

sono giuste queste mie affermazioni?

[corel_86]

per quanto riguarda l'inverso moltiplicativo puoi usare benissimo beazout ma ti complichi la vita

$11x-=6(mod 48)$

come ti ho spiegato prima devi trovare quel numero che moltiplicato per 11 ti da 1 modulo 48. cioè quel numero è 35

perchè $35*11x-=35*6(mod 48)$

$385x=210 (mod 48)$

$48*8x+x=48*3+18 (mod 48)$ semplificando i multipli di 48 si ha in definitiva

$x-=18 (mod 48)$

[corel_86]

allora p è l'argomento del modulo e può valere qualsiasi valore nel caso

se p=1 si ha $x=-116+60=-56$
se p=2 si ha $x=-116+120= 4$

e cosi via ma se fai caso il primo valore positivo si ha quando p=2 ok?

nel caso avessimo
$x=-3+7p$

se p=1 $x=-3+7=4$
se p=2 $x=-3+14=11$

il primo valore positivo lo abbiamo quando p=1

sono tutte equivalenti ma dobbiamo scegliere la prima che ha valori positivi

[corel_86]

invece per $x=3+7p$

per p=0 risulta 3 primo valore positivo
per p=1 risulta 10

quindi basta scrivere $x-=3(mod 7)$

mentre per le altre che ho citato sopra rispettivamente sono

$x-=4 (mod 60)$
$x-=4 (mod 7)$

[gladior-votailprof]

Grazie moltissimo sei sato di grande aiuto.

[Lord K]

Perdonatemi ma

$x\equiv4 (60)$

non è mai:

$x\equiv 1(5)$

Quindi il vostro modo è errato.

[corel_86]

lord k è sbagliato il modo in cui hai ridotto la prima equazione

$2x-=3 (mod 5)$ riducendo si ha $x-= 4 (mod 5)$ non $x-= 1 (mod 5)$ perchè bisogna moltiplicare per 3 non per 2 cioè

$3*2x-=3*3 (mod 5)$

$6x-=9 (mod 5)$

$5x+x-=5+4 (mod 5)$ semplifico e ottengo

$x-=4 (mod 5)$

[Lord K]

Ok grazie non mi ero accorto!

[corel_86]

di nulla e comunque grazie anche a te per avermi aiutato in altre occasioni