Sistema completo di residui
Sto cercando di studiare il teorema di Eulero-Fermat... al momento sono arrivato alla funzione di Eulero $\varphi(n)$, che credo di aver capito, pero' successivamente viene indicato un lemma che dice, testualmente:
"precisato che per sistema completo di residui modulo a si intende un qualunque insieme di $\varphi(a)$ interi mai due dei quali congrui modulo a, siano a,b e c interi e sia (a,b)=1,; se x percorre M, un sistema completo di residui, allora bx+c percorre un sistema completo di residui modulo a, diciamolo M'"
in questo lemma vorrei capire se il sistema completo di residui modulo e' qualcosa del genere:
$M = {\varphi(a), \varphi(a'), \varphi(a''),...,\varphi(a^i)}_(mod a)$
inoltre cosa si intende per "percorrere" il sistema completo di residui??
Grazie e scusate se scrivo anche il giorno di Natale (sempre che qualcuno legga...
)
"precisato che per sistema completo di residui modulo a si intende un qualunque insieme di $\varphi(a)$ interi mai due dei quali congrui modulo a, siano a,b e c interi e sia (a,b)=1,; se x percorre M, un sistema completo di residui, allora bx+c percorre un sistema completo di residui modulo a, diciamolo M'"
in questo lemma vorrei capire se il sistema completo di residui modulo e' qualcosa del genere:
$M = {\varphi(a), \varphi(a'), \varphi(a''),...,\varphi(a^i)}_(mod a)$
inoltre cosa si intende per "percorrere" il sistema completo di residui??
Grazie e scusate se scrivo anche il giorno di Natale (sempre che qualcuno legga...
)
Risposte
Invece non avevo capito bene cosa fosse $\varphi(n)$, o meglio ho capito come si calcola, ma non avevo capito che il numero risultante dalla funzione indica esattamente quanti sono gli elementi dell'insieme definito come "sistema completo dei residui modulo n". Ad esempio per:
$\varphi(8)=4$ il mio sistema completo dei residui modulo $8$ e' cosi' definito $S={1,3,5,7}$
in quanto gli elementi $1,3,5,7$ sono gli unici interi coprimi con $8$: $(1,8)=1$, $(2,8)=2$, $(3,8)=1$,$(4,8)=4$,$(5,8)=1$,$(6,8)=2$,$(7,8)=1$,$(8,8)=4$
Quindi percorrere ho immaginato che si riferisse al fatto che, preso un generico intero $a$, e messo in relazione di congruenza con gli elementi di $S$, si trova che $a$ e' congruo modulo $8$ con un solo elemento di $S$ (in pratica ho percorso $S$ e ne ho confrontato ogni elemento con $a$).
Ho capito bene o non ho capito nulla come al solito!?!?!?!?
$\varphi(8)=4$ il mio sistema completo dei residui modulo $8$ e' cosi' definito $S={1,3,5,7}$
in quanto gli elementi $1,3,5,7$ sono gli unici interi coprimi con $8$: $(1,8)=1$, $(2,8)=2$, $(3,8)=1$,$(4,8)=4$,$(5,8)=1$,$(6,8)=2$,$(7,8)=1$,$(8,8)=4$
Quindi percorrere ho immaginato che si riferisse al fatto che, preso un generico intero $a$, e messo in relazione di congruenza con gli elementi di $S$, si trova che $a$ e' congruo modulo $8$ con un solo elemento di $S$ (in pratica ho percorso $S$ e ne ho confrontato ogni elemento con $a$).
Ho capito bene o non ho capito nulla come al solito!?!?!?!?
Un aiuto a capire, please.... 
invece di usare questi post come contenitore per le tue idee più perverse e confuse, prova a fare le seguenti azioni: rifletti. cerca di capire cosa non hai capito. rifletti ancora. scrivi una domanda. ripeto una domanda, non una serie di osservazioni, piccoli fatti della tua vita e conti a caso, ma una domanda che sia comprensibile anche per chi non ha la fortuna di vivere nella tua testa. poi rifletti ancora un pochino. e vedrai che tutto andrà meglio.
La domanda e' sempre la stessa del primo post (c'e' anche il punto interrogativo...): "cosa si intende per "percorrere" il sistema completo di residui?? "
Grazie
Grazie
Ok, credo di non aver capito nulla....
Ora pero' vorrei una conferma, piuttosto che dell'ironia...quindi se qualcuno puo' rispondere gliene sarei veramente grato.
Un sistema completo di residui modulo $n$ e' un sottoinsieme di $ZZ$ ($S sub ZZ$) per cui nessun elemento di $S$ sottratto ad un
altro elemento di $S$ e' un multiplo di $n$ ?
Ad esempio se $S={7,22,3}$ e il modulo e' $3$, questo non sarebbe un sistema completo di residui perche' $22-7=15$ che
e' un multiplo di $3$, mentre l'insieme $S={0,1,2}$ lo e'.
E' giusto?
Ora pero' vorrei una conferma, piuttosto che dell'ironia...quindi se qualcuno puo' rispondere gliene sarei veramente grato.
Un sistema completo di residui modulo $n$ e' un sottoinsieme di $ZZ$ ($S sub ZZ$) per cui nessun elemento di $S$ sottratto ad un
altro elemento di $S$ e' un multiplo di $n$ ?
Ad esempio se $S={7,22,3}$ e il modulo e' $3$, questo non sarebbe un sistema completo di residui perche' $22-7=15$ che
e' un multiplo di $3$, mentre l'insieme $S={0,1,2}$ lo e'.
E' giusto?
Corretto!
Grazie Lord!!
non direi che è una buona definizione.
un sistema di residui modulo $n$ è una insieme di rappresentanti delle classi di resto modulo $n$, ovvero un insieme $S \sub ZZ$ tale che
per ogni classe di resto modulo $n$, c'è uno e un solo elemento di quella classe in $S$.
un esempio classico sono proprio i numeri interi da $1$ a $n-1$.
ora, "percorrere un sistema di resti" non ha un significato standard, quindi cosa voglia dire va interpretatato a seconda del contesto.
e qui entra il mio rimprovero sarcastico (e ti chiedo scusa se sono stato un po' rude): nnon è per nulla chiaro quale sia questo contesto, dovresti spiegare meglio in che ambito è comparsa questa fatidica frase.
un sistema di residui modulo $n$ è una insieme di rappresentanti delle classi di resto modulo $n$, ovvero un insieme $S \sub ZZ$ tale che
per ogni classe di resto modulo $n$, c'è uno e un solo elemento di quella classe in $S$.
un esempio classico sono proprio i numeri interi da $1$ a $n-1$.
ora, "percorrere un sistema di resti" non ha un significato standard, quindi cosa voglia dire va interpretatato a seconda del contesto.
e qui entra il mio rimprovero sarcastico (e ti chiedo scusa se sono stato un po' rude): nnon è per nulla chiaro quale sia questo contesto, dovresti spiegare meglio in che ambito è comparsa questa fatidica frase.
Il contesto e' quello della dimostrazione del teorema di Eulero-Fermat.
Dopo aver introdotto la funzione di Eulero con il seguente teorema:
Sia p un numero primo e siano $a$ e $b$ interi primi tra loro: $(a, b) = 1$. Allora:
$\varphi(p^r)=p^(r-1)(p-1)$
e
$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$
indicando, con quest'ultima, che $\varphi$ e' una funzione moltiplicativa.
Infatti, indicando con $m = p^r1 p^r2 ... p^r_s$ la decomposizione in fattori primi di $m$, dalle equazioni precedenti ne consegue
$\varphi(m) = p^(r_1-1)_1(p_1-1) * p^(r_2-1)_2(p_2-1)* ... * p^(r_s-1)_s(p_s-1) $
[size=75](nella dispensa usa un'altra notazione che non riesco a replicare, ma nella sostanza corrisponde a quanto ho scritto).[/size]
Successivamente c'e' esattamente il lemma indicato nel primo post e poi la dimostrazione del teorema.
la definizione da me data di sistema completo dei residui non e' di certo formale e precisa, ma avevo la necessita' di
capire cosa fosse realmente perche' la definizione della mia dispensa non era chiara (per me), inoltre nell'Algebra dell'Artin non l'ho trovata cosi' sono andato a cercare in rete, dove ho trovato alcune definizioni (diverse da quella data da te ora,anche se nella sostanza esprimono tutte lo stesso concetto) e le successive mie "confusioni".
[OT mode]
Black io ti ho ringraziato sempre per ogni spiegazione datomi e lo faccio anche ora, pero' come ben sai su un forum nessuno e' obbligato a rispondere e io non pretendo nulla, tranne che le risposte, quando date, siano utili non solo a me ma a tutti quelli che leggono, altrimenti si perde l'utilita' stessa del forum.
Grazie
[/OT]
Dopo aver introdotto la funzione di Eulero con il seguente teorema:
Sia p un numero primo e siano $a$ e $b$ interi primi tra loro: $(a, b) = 1$. Allora:
$\varphi(p^r)=p^(r-1)(p-1)$
e
$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$
indicando, con quest'ultima, che $\varphi$ e' una funzione moltiplicativa.
Infatti, indicando con $m = p^r1 p^r2 ... p^r_s$ la decomposizione in fattori primi di $m$, dalle equazioni precedenti ne consegue
$\varphi(m) = p^(r_1-1)_1(p_1-1) * p^(r_2-1)_2(p_2-1)* ... * p^(r_s-1)_s(p_s-1) $
[size=75](nella dispensa usa un'altra notazione che non riesco a replicare, ma nella sostanza corrisponde a quanto ho scritto).[/size]
Successivamente c'e' esattamente il lemma indicato nel primo post e poi la dimostrazione del teorema.
la definizione da me data di sistema completo dei residui non e' di certo formale e precisa, ma avevo la necessita' di
capire cosa fosse realmente perche' la definizione della mia dispensa non era chiara (per me), inoltre nell'Algebra dell'Artin non l'ho trovata cosi' sono andato a cercare in rete, dove ho trovato alcune definizioni (diverse da quella data da te ora,anche se nella sostanza esprimono tutte lo stesso concetto) e le successive mie "confusioni".
[OT mode]
Black io ti ho ringraziato sempre per ogni spiegazione datomi e lo faccio anche ora, pero' come ben sai su un forum nessuno e' obbligato a rispondere e io non pretendo nulla, tranne che le risposte, quando date, siano utili non solo a me ma a tutti quelli che leggono, altrimenti si perde l'utilita' stessa del forum.
Grazie
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