Sistema completo di rappresentanti

[aritmetico]

Ciao

mi sono bloccato sull'ultima parte dell'esercizio dove posta una relazione $R$ su $RR$ ove $rRs<=>r-s inZZ$ richiede di trovare un sistema completo di rappresentanti.

La mia idea è che debba essere $[0,1)$ poiché ho riscritto una classe $={r=z+s| ∃ z in ZZ}$ e noto che effettivamente posto un certo reale s cambiando la scelta di z=...,1,2,3... mi ritrovo ad avere un reale r in un intervallo successivo o precedente di $ [n,n+1)$

[Es] scelgo s=0,5 cambiando gli z in Z trovo -1.5, -2.5... oppure 1.5, 2.5... come valore di r.

Però a parte l'intuizione, non so bene come rendere formale questa idea che mi sono fatto.
Chiedo un aiuto in tal senso e ringrazio.

[hydro1]

Devi provare 2 cose:

1) due elementi distinti di $[0,1)$ non sono mai in relazione tra di loro;
2) ogni elemento di $\mathbb R$ è in relazione con un elemento di $[0,1)$.

[fulcanelli]

"aritmetico":$={r=z-s| esista z in ZZ}$

Volevi scrivere \(\{r\in\mathbb R\mid r = s+z,\,z \in \mathbb Z\}\), no?

Poi, un "sistema completo" di rappresentanti, o "insieme trasversale" interseca ogni classe di equivalenza di \(\mathbb R/\mathbb Z\) in un solo elemento. [0,1) è un insieme trasversale, secondo questa definizione?

[aritmetico]

"fulcanelli":Volevi scrivere

Ovviamente sì , ho lasciato un segno di troppo. Ho corretto.

Poi, un "sistema completo" di rappresentanti, o "insieme trasversale" interseca ogni classe di equivalenza di \(\mathbb R/\mathbb Z\) in un solo elemento. [0,1) è un insieme trasversale, secondo questa definizione?

Mi parrebbe di sì

"hydro":Devi provare 2 cose:

1) due elementi distinti di $[0,1)$ non sono mai in relazione tra di loro;
2) ogni elemento di $\mathbb R$ è in relazione con un elemento di $[0,1)$.

Perché dalla teoria mi è stato definito che si dice insieme o sistema completo di rappresentanti un sottoinsieme dell'insieme A (diciamo da cui parto) contenenete esattamente un rappresentante di ogni classe.
Ora, in effetti intuitivamente mi sembra giusto dire che valgono 1) e 2), ma i tuoi due punti posso prenderli come definizione di sistema completo di rappresentanti? Mi sembra più forale di quanto ho appuntato sul quaderno.

[hydro1]

Per risponderti, devi riflettere intensamente sul significato della frase "[...] contenenete esattamente un rappresentante di ogni classe".

[aritmetico]

Effettivamente "esattamente" garantisce che il rappresentante della classe sia uno e uno solo, da qui dovrebbe derivare che due elementi distinti non possono stare in quell'insieme. Inoltre "ogni" garantisce che ho un elemento che rappresenta tutte le classi,unito al fatto che due elementi in relazione sono nella stessa classe mi garantisce che ogni altro elemento ne sia in relazione con un elemento dell'insieme dei rappresentanti