Significato di funzione suriettiva
Non riesco precisamente a capire quando una funzione è suriettiva...potete spiegarlo in parole povere magari con qualche esempio...grazie
Risposte
(*) Una funzione $f$ di dominio $A$ e codominio $B$ e' un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A xx B$ tale che per ogni $a in A$ esiste un unico $b in B$ tale che $(a,b) in f$. In tal caso scriviamo $f(a)=b$ e diciamo che $a$ viene "mandato" in $b$, o che $b$ e' "raggiunto" da $a$.
In parole piu' intuitive, una funzione di dominio $A$ e codominio $B$ e' una legge che associa ad ogni elemento di $A$ un unico elemento di $B$.
Osserva quindi che niente assicura che ogni elemento di $B$ sia raggiunto da qualche elemento di $A$ (pensa al caso "patologico" in cui ogni elemento di $A$ viene mandato in un fissato elemento di $B$ - in questo caso si parla di funzione costante). Se questo succede la funzione si dice suriettiva.
Per esempio $f:RR to RR,\ x to sin x$ non e' suriettiva, mentre $g:\ RR to [-1,1],\ x to sin x$ e' suriettiva.
Per esempio: $f:RR to RR,\ x to x^2$ non e' suriettiva, mentre $g:\ RR to [0,+infty[,\ x to x^2$ e' suriettiva.
Per esempio: la funzione $f:{1,2,3} to {a,b}$ che manda $1$ in $a$, $2$ in $a$ e $3$ in $b$ e' suriettiva.
Per esempio: la funzione $f:{1,2,3} to {a,b,c}$ che manda $1$ in $a$, $2$ in $a$ e $3$ in $b$ non e' suriettiva.
Per capire meglio puoi provare a dimostrare che se hai due insiemi finiti $A$ e $B$, il numero degli elementi di $A$ e' maggiore o uguale del numero degli elementi di $B$ se e solo se esiste una funzione suriettiva $A to B$.
(*) ho scritto la definizione di funzione perche' spesso la non comprensione del concetto di funzione suriettiva e' legato alla convinzione che una funzione coincida con la sua espressione analitica.
In parole piu' intuitive, una funzione di dominio $A$ e codominio $B$ e' una legge che associa ad ogni elemento di $A$ un unico elemento di $B$.
Osserva quindi che niente assicura che ogni elemento di $B$ sia raggiunto da qualche elemento di $A$ (pensa al caso "patologico" in cui ogni elemento di $A$ viene mandato in un fissato elemento di $B$ - in questo caso si parla di funzione costante). Se questo succede la funzione si dice suriettiva.
Per esempio $f:RR to RR,\ x to sin x$ non e' suriettiva, mentre $g:\ RR to [-1,1],\ x to sin x$ e' suriettiva.
Per esempio: $f:RR to RR,\ x to x^2$ non e' suriettiva, mentre $g:\ RR to [0,+infty[,\ x to x^2$ e' suriettiva.
Per esempio: la funzione $f:{1,2,3} to {a,b}$ che manda $1$ in $a$, $2$ in $a$ e $3$ in $b$ e' suriettiva.
Per esempio: la funzione $f:{1,2,3} to {a,b,c}$ che manda $1$ in $a$, $2$ in $a$ e $3$ in $b$ non e' suriettiva.
Per capire meglio puoi provare a dimostrare che se hai due insiemi finiti $A$ e $B$, il numero degli elementi di $A$ e' maggiore o uguale del numero degli elementi di $B$ se e solo se esiste una funzione suriettiva $A to B$.
(*) ho scritto la definizione di funzione perche' spesso la non comprensione del concetto di funzione suriettiva e' legato alla convinzione che una funzione coincida con la sua espressione analitica.
In parole poverissime, perchè una funzione sia suriettiva bisogna che ohni elemento di $B$ provenga da almeno un elemento di $A$ o come si dice meglio che ogni elemento di $B$ abbia almeno una controimmagine in $A$.
Grazie mille
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