$sigma$-algebre, questione importante
Chiedo conferma o smentita su una mia intuizione.
Spero che qualcuno conosca la nozione di $sigma$-algebra dei Boreliani (o di Borel).
La ricordo brevemente: dato uno spazio topologico, una $sigma$-algebra dei Boreliani consiste nella $sigma$-algebra più piccola (tra quelle che si possono costruire) contenente gli aperti dello spazio topologico.
E' giusto osservare che una base di aperti numerabile per lo spazio costituisce in generale anche una base per la $sigma$-algebra dei Boreliani?
E' giusto notare che non sempre una base di aperti costituisce una base per la $sigma$-algebra dei Boreliani?
Grazie in ogni caso per l'attenzione.
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EDIT: Ho cambiato titolo con uno più incisivo, diciamo così...[/size]
Spero che qualcuno conosca la nozione di $sigma$-algebra dei Boreliani (o di Borel).
La ricordo brevemente: dato uno spazio topologico, una $sigma$-algebra dei Boreliani consiste nella $sigma$-algebra più piccola (tra quelle che si possono costruire) contenente gli aperti dello spazio topologico.
E' giusto osservare che una base di aperti numerabile per lo spazio costituisce in generale anche una base per la $sigma$-algebra dei Boreliani?
E' giusto notare che non sempre una base di aperti costituisce una base per la $sigma$-algebra dei Boreliani?
Grazie in ogni caso per l'attenzione.
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EDIT: Ho cambiato titolo con uno più incisivo, diciamo così...[/size]
Risposte
Nessuno mi sa rispondere? 
E dai se è stato risposto al quesito di Kroldar sulle $sigma$-algebre non si può rispondere al mio?
Vabbè dai questa era ultima volta che lo chiedevo, ora mi rassegno.
Vabbè dai questa era ultima volta che lo chiedevo, ora mi rassegno.
Cosa intendi per base di una sigma algebra?
Una $sigma$ algebra si dice generata se è la più piccola $sigma$ algebra contenente una data famiglia di sottoinsiemi dello spazio; quest'ultima famiglia che la genera si dice generatore.
Si definisce base di una $sigma$-algebra un generatore di una $sigma$ algebra chiuso per intersezione finita, cioè un'intersezione finita di insiemi della base sta nella base.
Si definisce base di una $sigma$-algebra un generatore di una $sigma$ algebra chiuso per intersezione finita, cioè un'intersezione finita di insiemi della base sta nella base.
A occhio mi pare che sia corretto che una base numerabile per la topologia sia una base per la sigma algebra dei boreliani: se io parto da una base numerabile per la topologia, riesco a trovare, intersecando e unendo (operazioni dentro la sigma algebra) tutta la topologia? mi pare di si', quindi ora genero la sigma algebra da tutti gli aperti, e quindi ottengo proprio quella dei boreliani.
Ora dove cade tutto (se cade) quando perdo la numerabilita' della base?
Ora dove cade tutto (se cade) quando perdo la numerabilita' della base?
Grazie per la risposta, sì infatti sono molto incerto sulla questione.
Semplicemente pensavo che una base di aperti non numerabile potesse essere sì contenuta nella sigma algebra, ma non una base per quest'ultima. Mi spiego meglio.
Ho una base di aperti per la topologia non numerabile ${A_j}_(j in J)$. Considero la sigma algebra dei boreliani.
La sigma algebra che ha per base la base di aperti ${A_j}_(j in J)$ è la sigma alg. più piccola che contiene ${A_j}_(j in J)$. Tuttavia essa contiene unicamente gli $A_j$ e le intersezioni e le unioni numerabili degli $A_j$, quindi potrebbe non contenere ad esempio l'unione (non numerabile) di tutti gli $A_j$. Però questa unioone è un aperto, quindi appartenente alla sigma alg. dei boreliani.
Di conseguenza questa sigma algebra potrebbe essere più piccola della sigma algebra dei boreliani.
Dove sbaglio?
Semplicemente pensavo che una base di aperti non numerabile potesse essere sì contenuta nella sigma algebra, ma non una base per quest'ultima. Mi spiego meglio.
Ho una base di aperti per la topologia non numerabile ${A_j}_(j in J)$. Considero la sigma algebra dei boreliani.
La sigma algebra che ha per base la base di aperti ${A_j}_(j in J)$ è la sigma alg. più piccola che contiene ${A_j}_(j in J)$. Tuttavia essa contiene unicamente gli $A_j$ e le intersezioni e le unioni numerabili degli $A_j$, quindi potrebbe non contenere ad esempio l'unione (non numerabile) di tutti gli $A_j$. Però questa unioone è un aperto, quindi appartenente alla sigma alg. dei boreliani.
Di conseguenza questa sigma algebra potrebbe essere più piccola della sigma algebra dei boreliani.
Dove sbaglio?
Forse non sbagli...
Il fatto è che non conosco testi che sottolineino argomenti di questo tipo. Grazie mille, comunque!
Si, anche io, quando si va sul non numerabile le cose si fanno sempre estremamente delicate. Comunque il tuo ragionamento, seppure un po' euristico, mi pare che dica in modo ragionevole che quando hai una base non numerabile non e' detto che ritrovi la sigma algebra dei boreliani.
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