$sigma$-algebra di Borel
Salve a tutti!
ho un dubbietto...
devo dimostrare che la $sigma$-algebra di Borel $fr{B}((0,1))$ (cioé l'algebra generata dagli aperti di $(0,1)$) è generata dalle seguenti famiglie:
$C_1 = {[a,b],a<=b, a,b in (0,1)}$
$C_2 = {(0,t], t in (0,1)}$
$C_3 = {[q,p],q<=p, q,p in (0,1)nnQQ}$
pensavo di dimostrare per doppia inclusione
per il primo, ad esempio, ho iniziato così
$fr{B}((0,1))$ contiene per definizione tutti gli aperti di $(0,1)$, dunque (essendo una $sigma$-algebra) anche i loro complementari, ovvero i chiusi di $(0,1)$
quindi $C_1 sube fr{B}((0,1))$
ma qui mi blocco, per dimostrare l'altra inclusione come potrei fare? avevo pensato di sfruttare il fatto che ogni aperto o chiuso di $RR^n$ (e quindi a maggior ragione di $(0,1)$) può essere scritto come unione numerabile di aperti e chiusi di $RR^n$ (di $(0,1)$ in questo caso)... solo che non saprei come procedere..qualche hint?
ho un dubbietto...
devo dimostrare che la $sigma$-algebra di Borel $fr{B}((0,1))$ (cioé l'algebra generata dagli aperti di $(0,1)$) è generata dalle seguenti famiglie:
$C_1 = {[a,b],a<=b, a,b in (0,1)}$
$C_2 = {(0,t], t in (0,1)}$
$C_3 = {[q,p],q<=p, q,p in (0,1)nnQQ}$
pensavo di dimostrare per doppia inclusione
per il primo, ad esempio, ho iniziato così
$fr{B}((0,1))$ contiene per definizione tutti gli aperti di $(0,1)$, dunque (essendo una $sigma$-algebra) anche i loro complementari, ovvero i chiusi di $(0,1)$
quindi $C_1 sube fr{B}((0,1))$
ma qui mi blocco, per dimostrare l'altra inclusione come potrei fare? avevo pensato di sfruttare il fatto che ogni aperto o chiuso di $RR^n$ (e quindi a maggior ragione di $(0,1)$) può essere scritto come unione numerabile di aperti e chiusi di $RR^n$ (di $(0,1)$ in questo caso)... solo che non saprei come procedere..qualche hint?
Risposte
uppino..please una mano... 
Sia $bbC_i$ la sigma-algebra generata da $C_i$, $i=1,2,3$.
- $bbC_i sube ccB((0,1))$, $i=1,2,3$.
E' banale che $C_i sube bbB((0,1))$, in quanto i boreliani sono gli aperti, i chiusi, le intersezioni numerabili di aperti e le intersezioni numerabili di chiusi. Poichè $bbC_i$ è generata da $C_i$, è la più piccola sigma-algebra contenente $C_i$, di qui si ha quanto si voleva.
- $ccB((0,1)) sube bbC_i$, $i=1,2,3$.
Basta far vedere come nel primo punto che gli aperti, i generatori della sigma-algebra dei boreliani, siano contenuti in $C_i$: così certamente si ha l'asserto, dal momento che $ccB((0,1)) $ è la più piccola sigma-algebra appunto contenente gli aperti. In verità è più opportuno applicare lo stesso ragionamento ad una base di aperti numerabile della topologia euclidea indotta su $(0,1)$ (ne esiste almeno una): essa stessa costituisce un insieme di generatori per la sigma-algebra dei boreliani.
Prendiamo ad esempio $B_{QQ}={(a,b) sube (0,1), a
Sia $(a,b) in B_{QQ}$. Allora $(a,b)=uu_{n in NN} {[a-1/n,b-1/n]}$
eccetera eccetera
Non sono stato molto chiaro (non vorrei tra l'altro aver scritto castronerie)... spero però di averti dato qualche input, del resto mi pare fossi già sulla strada giusta.
Comunque, se intanto qualcuno vuole introdursi nel discorso fa benissimo...
Se puoi vuoi qualche spiegazione più dettagliata da me chiedi pure.. cercherò a breve di risponderti (o magari, forse è meglio, ti risponderà qualcun altro...)
Ciao.
- $bbC_i sube ccB((0,1))$, $i=1,2,3$.
E' banale che $C_i sube bbB((0,1))$, in quanto i boreliani sono gli aperti, i chiusi, le intersezioni numerabili di aperti e le intersezioni numerabili di chiusi. Poichè $bbC_i$ è generata da $C_i$, è la più piccola sigma-algebra contenente $C_i$, di qui si ha quanto si voleva.
- $ccB((0,1)) sube bbC_i$, $i=1,2,3$.
Basta far vedere come nel primo punto che gli aperti, i generatori della sigma-algebra dei boreliani, siano contenuti in $C_i$: così certamente si ha l'asserto, dal momento che $ccB((0,1)) $ è la più piccola sigma-algebra appunto contenente gli aperti. In verità è più opportuno applicare lo stesso ragionamento ad una base di aperti numerabile della topologia euclidea indotta su $(0,1)$ (ne esiste almeno una): essa stessa costituisce un insieme di generatori per la sigma-algebra dei boreliani.
Prendiamo ad esempio $B_{QQ}={(a,b) sube (0,1), a
Sia $(a,b) in B_{QQ}$. Allora $(a,b)=uu_{n in NN} {[a-1/n,b-1/n]}$
eccetera eccetera
Non sono stato molto chiaro (non vorrei tra l'altro aver scritto castronerie)... spero però di averti dato qualche input, del resto mi pare fossi già sulla strada giusta.
Comunque, se intanto qualcuno vuole introdursi nel discorso fa benissimo...
Se puoi vuoi qualche spiegazione più dettagliata da me chiedi pure.. cercherò a breve di risponderti (o magari, forse è meglio, ti risponderà qualcun altro...)
Ciao.
grazie Amel della tua risposta!
unico problemino:
"base di aperti numerabile della topologia euclidea indotta su (0,1)"
parli di $fr {E_1}$?
di topologie non è che abbiamo parlato granché..parli dei rettangoli in $RR^n$ (intervalli in $RR$) ?
unico problemino:
"base di aperti numerabile della topologia euclidea indotta su (0,1)"
parli di $fr {E_1}$?
di topologie non è che abbiamo parlato granché..parli dei rettangoli in $RR^n$ (intervalli in $RR$) ?
Gli aperti di $RR$ della topologia euclidea sono quelli "classici" (gli intervalli aperti, le unioni di intervalli aperti...)
Gli aperti di $(0,1)$ della topologia euclidea sono i sottoinsiemi del tipo $A nn (0,1)$, ove $A$ è aperto di $RR$ per la topologia euclidea
Una base numerabile della topologia è data ad esempio da quella che ti ho detto. Per base intendo una famiglia tale che la topologia è la più piccola che la contiene.
E' chiaro che a quel punto se una topologia genera una sigma-algebra, la base che genera la topologia a sua volta genera la sigma-algebra.
Comunque questo discorso lo puoi dimenticare tranquillamente se sai che la sigma-algebra dei boreliani è generata dagli intervalli aperti...
Comunque prendi i miei discorsi topologici con le molle, perchè non è che sia una cima...
Gli aperti di $(0,1)$ della topologia euclidea sono i sottoinsiemi del tipo $A nn (0,1)$, ove $A$ è aperto di $RR$ per la topologia euclidea
Una base numerabile della topologia è data ad esempio da quella che ti ho detto. Per base intendo una famiglia tale che la topologia è la più piccola che la contiene.
E' chiaro che a quel punto se una topologia genera una sigma-algebra, la base che genera la topologia a sua volta genera la sigma-algebra.
Comunque questo discorso lo puoi dimenticare tranquillamente se sai che la sigma-algebra dei boreliani è generata dagli intervalli aperti...
Comunque prendi i miei discorsi topologici con le molle, perchè non è che sia una cima...
ahah ok ok grazie ancora!
Riapro questo topic per approfondire un piccolo passaggio:
Formalizzando, credo che sia corretta la seguente proposizione:
Sia \(\displaystyle (X, \tau) \) uno spazio topologico. Se \(\displaystyle \Gamma \) è una base numerabile per la topologia \(\displaystyle \tau \), allora la \(\displaystyle \sigma \)−algebra generata da \(\displaystyle \Gamma \) coincide con la \(\displaystyle \sigma \)−algebra di Borel \(\displaystyle \mathcal{B}(X) \), ovvero la \(\displaystyle \sigma \)−algebra generata da \(\displaystyle \tau \).
DIM.:
(i) \(\displaystyle <\Gamma> \subset <\tau> \) :
\(\displaystyle \Gamma \subset \tau \subset <\tau> \Rightarrow \) (per def di \(\displaystyle \sigma \)−algebra) \(\displaystyle <\Gamma> \subset <\tau> \).
(ii) \(\displaystyle <\tau> \subset <\Gamma> \) :
Sia \(\displaystyle A \in \tau \). (x ipotesi base numerabile) \(\displaystyle A=\bigcup_{n\in \mathbb{N} } \Gamma_{n}\), con \(\displaystyle \Gamma_{n} \in \Gamma \ \ \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow A \in <\Gamma> \), in quanto unione numerabile di insiemi appartenenti alla \(\displaystyle \sigma \)−algebra \(\displaystyle <\Gamma> \).
Dunque (per def di \(\displaystyle \sigma \)−algebra) \(\displaystyle <\tau> \subset <\Gamma> \).
(c.v.d.)
La mia domanda è: il risultato che ho dimostrato è corretto? Se si, l'ipotesi di base numerabile è irremovibile? E' possibile estendere questo risultato?
Grazie in anticipo,
ciao!
"amel":
Per base (numerabile) intendo una famiglia tale che la topologia è la più piccola che la contiene.
E' chiaro che a quel punto se una topologia genera una sigma-algebra, la base che genera la topologia a sua volta genera la sigma-algebra.
Formalizzando, credo che sia corretta la seguente proposizione:
Sia \(\displaystyle (X, \tau) \) uno spazio topologico. Se \(\displaystyle \Gamma \) è una base numerabile per la topologia \(\displaystyle \tau \), allora la \(\displaystyle \sigma \)−algebra generata da \(\displaystyle \Gamma \) coincide con la \(\displaystyle \sigma \)−algebra di Borel \(\displaystyle \mathcal{B}(X) \), ovvero la \(\displaystyle \sigma \)−algebra generata da \(\displaystyle \tau \).
DIM.:
(i) \(\displaystyle <\Gamma> \subset <\tau> \) :
\(\displaystyle \Gamma \subset \tau \subset <\tau> \Rightarrow \) (per def di \(\displaystyle \sigma \)−algebra) \(\displaystyle <\Gamma> \subset <\tau> \).
(ii) \(\displaystyle <\tau> \subset <\Gamma> \) :
Sia \(\displaystyle A \in \tau \). (x ipotesi base numerabile) \(\displaystyle A=\bigcup_{n\in \mathbb{N} } \Gamma_{n}\), con \(\displaystyle \Gamma_{n} \in \Gamma \ \ \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow A \in <\Gamma> \), in quanto unione numerabile di insiemi appartenenti alla \(\displaystyle \sigma \)−algebra \(\displaystyle <\Gamma> \).
Dunque (per def di \(\displaystyle \sigma \)−algebra) \(\displaystyle <\tau> \subset <\Gamma> \).
(c.v.d.)
La mia domanda è: il risultato che ho dimostrato è corretto? Se si, l'ipotesi di base numerabile è irremovibile? E' possibile estendere questo risultato?
Grazie in anticipo,
ciao!
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