Sfida per matematici!

[zipangulu]

Trovare tutti gli $(x,y)$ interi positivi dispari e maggiori di $1$ tali che $(3^y-1)/(2^x-1)$ è intero.

[gugo82]

Impossibile, a occhio e croce.

Siano $x,y\in NN$ e $x,y>1$.
$3^y$ è dispari, quindi $3^y-1$ è pari; allo stesso modo, $2^x$ è pari, quindi $2^x-1$ è dispari.
Il rapporto tra un numero pari ed un numero dispari non è mai intero (a meno che il denominatore non sia $1$, ma ciò non è possibile, visto che $x>1$).
Infatti, siano $p,d$ un pari ed un dispari maggiore di $1$; se $pd$, detti $q \in NN$ ed $r\in \{1,\ldots ,d-1\}$ il quoziente ed il resto della divisione di $p$ per $d$, si ha $p/d=(qd+r)/d=q+r/d$ ed $r/d$ non è intero.

Corretto?

[EnderWiggins]

Non sono d'accordo con Gugo $6/3 = 2$ ed è il rapporto tra un pari e un dispari, penso che l'errore stia nel supporre $r != 0$.
Tuttavia io arrivo solo a dire che:
$(3^y - 1)/(2^x-1) = n$ con $n in ZZ$ dunque $(3^y - 1) = n(2^x-1)$ e poichè giustamente $(3^y - 1)$ è pari e $(2^x-1)$ è dispari allora necessariamente $n$ è pari, ma non riesco ad andare oltre..

[Phoenyx]

In maniera piuttosto brutale ho fatto un po' di conti: alcune coppie che vanno bene sono:
(3,6) (3,12) (9,12)
Ora sappiamo che ce ne sono... magari guardandole ci viene in mente qualcosa...

[zipangulu]

x EnderWiggis: $6/3$ nn soddisfa la condizione del numeratore $3^y-1$...cm ottieni 6 cn qst forma?ti ricordo che x,y devono essere interi dispari maggiori d 1!
x Phoenyx: lo stesso vale per le tue coppie!cm le ottieni soddisfacendo le condizioni della traccia???cm ottieni 12 nella forma $3^y-1$???
in effetti gugo da una parte EnderWiggis ha un po di ragione!il rapposrto tra un numero pari al numeratore e dispari al denominatore da cm risultato un intero se N e un multiplo d D
Ps scusate la mancata correttezza grammaticale ma la mia tastiera fa i capricci e nn mi mette la e accentata e vari altri caratteri

[Phoenyx]

EnderWiggins credo stesse semplicemente confutando una proposizione scritta da Gugo con un controesempio.
E se io non ho sbagliato i calcoli... se metti x=3 e y= 6... e così per tutte le coppie... la frazione resistituisce un intero:

ad esempio
$\frac {3^6 -1}{2^3-1} =\frac {728}{7} = 104 $ che è intero

[gugo82]

"EnderWiggins":Non sono d'accordo con Gugo $6/3 = 2$ ed è il rapporto tra un pari e un dispari, penso che l'errore stia nel supporre $r != 0$.

In effetti ho commesso una leggerezza imperdonabile.

[mod="Gugo82"]Sposto in Algebra, che mi pare la sezione più adatta.[/mod]

[zipangulu]

"Phoenyx":EnderWiggins credo stesse semplicemente confutando una proposizione scritta da Gugo con un controesempio.
E se io non ho sbagliato i calcoli... se metti x=3 e y= 6... e così per tutte le coppie... la frazione resistituisce un intero:

ad esempio
$\frac {3^6 -1}{2^3-1} =\frac {728}{7} = 104 $ che è intero

Phoenyx anche nel tuo caso nn stai rispettando le condizioni ponendo x=3 nessun problema ma y=6 nn è accettabile!
ti ricordo ancora una volta che $x,y$ € numeri interi DISPARI maggiori di 1

[Phoenyx]

Ops ! Scusami non avevo letto bene!

[gygabyte017]

Io ci provo:

Dalla proprietà $a^x-b^x=(a-b)(a^(x-1) +a^(x-2)b + cdots + ab^(x-2)+b^(x-1))=(a-b)sum_(i=0)^(x-1) a^(x-1-i)b^i$,

posso scrivere:
$3^y-1=3^y-1^y=(3-1)sum_(i=0)^(y-1) 3^(y-1-i)1^i = 2 sum_(i=0)^(y-1) 3^i$

$2^x-1=2^x-1^x=(2-1)sum_(i=0)^(x-1) 2^(x-1-i)1^i = sum_(i=0)^(x-1) 2^i$

da cui: $(3^y-1)/(2^x-1)=(2 sum_(i=0)^(y-1) 3^i)/(sum_(i=0)^(x-1) 2^i)$ che è un numero nella forma $2a/b$.

Questo è naturale o se $b=1$ (contro l'ipotesi), o se $b$ è multiplo di $2$ (assurdo perchè si vede facilmente che è la somma di potenze di due (pari) più uno (dispari) = dispari), o se $a$ è multiplo di $b$.

Supponiamo vera quest'ultima ipotesi, ovvero che $sum_(i=0)^(y-1) 3^i=k(sum_(i=0)^(x-1) 2^i), EE k in NN$. Allora l'uguaglianza deve essere vera anche in $ZZ_n$. Scelgo $n=4$, e supponiamo $(x,y)$ dispari.
La prima somma, ovvero $1+(3+9)+(27+81)+cdots$ (dove ho evidenziato il fatto che è dispari), diventa $1+(3+1)+(3+1)+cdots$, ovvero $1*(y+1)/2 + 3*(y-1)/2 = 2y-1$
La seconda somma, ovvero $k(1+(2+4)+(8+16)+cdots)$, diventa $k_4(1+2)=k_4 3$.

Deve essere vero quindi che $EEk in ZZ_4 t.c. 2y-1=3k$, ovvero che $2y-1$ è multiplo di $3$. Ma, modulando ancora in $ZZ_3$, risulta che $0=(2y-1)_3=(2y)_3 +2 = 2(y+1)_3$ ovvero che $(y+1)$ è multiplo di $3$. Ma essendo $y$ dispari, $y+1$ è pari, e quindi è un assurdo.

(Edit: non è vero! L'ultima frase che ho scritto è un'enorme ca..., basta $y=5$.... continuo a pensarci)

Pertanto, $(x,y)$ non esistono (secondo me) .

[Sinceramente mi dà la sensazione di avere delle debolezze... Aspetto le vostre smentite! ]